8.2. Свойства фигур, сохраняющиеся при движении (инварианты движений)

Определения и обозначения

Движение плоскости — преобразование, при котором расстояние между любой парой точек сохраняется. Если точка A переходит в A′, а точка B — в B′, то AB = A′B′. Это условие относится не к одной выбранной паре, а ко всем парам точек плоскости.

Инвариант движения — свойство фигуры, которое не меняется при движении. Например, расстояние AB и расстояние между образами A′ и B′ одинаковы, поэтому длина отрезка остаётся прежней. Слово «инвариант» означает именно такую неизменность; понятие помогает заранее понять, какие сведения о фигуре можно использовать после преобразования.

Образ фигуры — множество образов всех точек этой фигуры. Если каждая точка отрезка перешла в свою точку, то совокупность этих новых точек и есть образ отрезка. Так рассматривают преобразование всей фигуры, а не только отдельных отмеченных точек.

Равные фигуры — фигуры, одну из которых можно совместить с другой движением. Это соответствует привычному наложению: если после перемещения фигуры все её точки совпали с точками другой, фигуры равны. Простого сходства формы недостаточно — должны совпадать и размеры.

Как это устроено

Пусть отрезок AB переходит в фигуру с соответствующими образами A′ и B′. По определению движения A′B′ = AB, поэтому расстояние между концами не меняется. Образы всех точек исходного отрезка лежат на прямой A′B′: например, если C лежит между A и B, то AC + CB = AB, а после движения A′C′ + C′B′ = A′B′. Равенство расстояний показывает, что C′ лежит на отрезке A′B′, а не в стороне от него.

Угол определяется двумя лучами с общим началом. Возьмём на каждом луче по точке и соединим их: вместе с вершиной угла эти точки образуют треугольник. Движение сохраняет расстояния между всеми тремя парами вершин, значит, образованный треугольник равен исходному по трём сторонам. У равных треугольников соответствующие углы равны, поэтому величина угла при движении сохраняется.

Если A, B и C лежат на одной прямой, то для точки B выполняется равенство AB + BC = AC или AB + AC = BC — в зависимости от её положения. После движения сохраняются все три расстояния, а значит, такое же равенство выполняется для образов A′, B′ и C′. По обратному свойству неравенства треугольника эти точки должны лежать на одной прямой. Следовательно, образ прямой также является прямой.

Параллельные прямые не имеют общей точки, и после движения их образы тоже не могут пересечься: иначе у точки пересечения был бы один и тот же прообраз. Образы прямых остаются прямыми, поэтому непересекающиеся прямые снова параллельны. Перпендикулярность сохраняется потому, что сохраняется величина угла между прямыми: прямой угол остаётся прямым. Так из сохранения расстояний и углов следуют другие свойства фигур.

При движении сохраняются длины сторон и величины углов, поэтому фигура не растягивается и не сжимается. Для треугольника, например, совпадают длины трёх соответствующих сторон, а значит, треугольники равны по трём сторонам. Это объясняет связь движения с наложением: движение позволяет расположить одну фигуру так, чтобы она точно совпала с другой. При этом отражение может поменять направление обхода фигуры, не нарушив равенства.

Свойства фигур, сохраняющиеся при движении

Чтобы пользоваться таблицей, сначала назовите свойство исходной фигуры, а затем найдите соответствующее следствие для её образа. Например, если известна длина стороны, сразу можно записать такую же длину у образа. Для доказательства свойства фигуры проверьте, какие расстояния или углы его определяют.

Разбор задач

Задача 1. При движении точка A переходит в A′, а точка B — в B′. Известно, что AB = 7 см. Требуется найти A′B′.

1. Сопоставим точки: A соответствует A′, B соответствует B′.
2. Движение сохраняет расстояние между любой парой точек, поэтому A′B′ = AB.
3. Подставим известную длину: A′B′ = 7 см.

Ответ: 7 см. Здесь не требуется строить образ или знать, куда именно переместились точки: достаточно свойства движения.

Задача 2. Отрезок AB длиной 5 см переходит при движении в фигуру A′B′. Объясните, почему A′B′ — отрезок длиной 5 см. Нужно обосновать и длину, и форму образа, а не только записать результат.

1. Концы отрезка переходят в точки A′ и B′. По определению движения A′B′ = AB = 5 см.
2. Любая точка C отрезка AB лежит между его концами, поэтому AC + CB = AB.
3. После движения расстояния сохраняются: A′C′ + C′B′ = A′B′. Значит, образ C′ лежит на отрезке A′B′; образ всех точек AB — этот отрезок.

Ответ: образ — отрезок A′B′ длиной 5 см. Рассуждение о точках внутри исходного отрезка подтверждает, что речь идёт именно об отрезке, а не только о расстоянии между образами концов.

Задача 3. Треугольник ABC переходит при движении в треугольник A′B′C′. Докажите, что треугольники равны, и укажите совпадающие элементы. Сначала найдём соответствующие вершины, а затем сравним стороны, образованные каждой парой вершин.

1. По соответствию вершин сторона AB переходит в A′B′, сторона BC — в B′C′, а CA — в C′A′.
2. Движение сохраняет расстояния, поэтому AB = A′B′, BC = B′C′ и CA = C′A′.
3. Три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого. По признаку равенства треугольников по трём сторонам треугольники равны; соответствующие углы тоже равны.

Ответ: △ABC = △A′B′C′. Совпадают длины соответствующих сторон и величины соответствующих углов: ∠A = ∠A′, ∠B = ∠B′, ∠C = ∠C′.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что движение сохраняет длины лишь некоторых отрезков, например сторон фигуры. Так думают, потому что в задаче часто указаны только отдельные стороны. Но определение говорит о расстоянии между любой парой точек, поэтому проверьте, что утверждение относится ко всем выбранным точкам, а не только к вершинам.

Не следует отождествлять образ точки с образом всей фигуры: новая точка — это лишь образ одного элемента. Ошибка возникает, когда при преобразовании отрезка учитывают только его концы. Чтобы проверить себя, мысленно возьмите любую точку внутри фигуры: её образ тоже входит в образ фигуры.

Неверно утверждать, что каждое движение сохраняет направление обхода фигуры. Такое ожидание возникает, если представить только перенос или поворот, но отражение меняет порядок обхода. Проверьте рассуждение на отражении треугольника: его стороны и углы сохраняются, хотя обход может стать противоположным.

Одинаковая форма ещё не означает равенства фигур: одна фигура может быть увеличенной копией другой. Эту ошибку допускают, сосредоточившись на внешнем виде и не проверив размеры. Для самопроверки выясните, можно ли совместить фигуры движением; если нужны растяжение или сжатие, они не равны.

Связь с другими темами

Для изучения движений нужны понятия расстояния между точками, длины отрезка и величины угла. При доказательстве равенства образов треугольников полезны признаки равенства треугольников. Поэтому движение связывает знакомые измерения с преобразованиями всей фигуры.

Движение — общий способ описывать переносы, повороты и отражения; на его свойствах основано изучение симметрий. Сохранение длин и углов также помогает доказывать равенство фигур. В задачах на построение оно позволяет проверять, совпадают ли построенная фигура и требуемая.

Что запомнить

• Движение сохраняет расстояния между любыми двумя точками.
• Длина отрезка при движении не меняется.
• Величина угла при движении сохраняется.
• Образ прямой при движении — прямая.
• Параллельные прямые переходят в параллельные, а перпендикулярные — в перпендикулярные.
• Фигуры, которые можно совместить движением, равны.