"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Композиция преобразований — это последовательное применение нескольких преобразований к одной фигуре. Она помогает заменить цепочку действий одним преобразованием и понять, как меняется положение фигуры. Главное — соблюдать порядок: в записи T₂∘T₁ сначала выполняют T₁, затем T₂. Композиции переносов и симметрий приводят к понятным результатам: переносу, повороту или тождественному преобразованию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Композиция преобразований — последовательное выполнение двух или нескольких преобразований одной и той же фигуры. Например, фигуру сначала можно перенести, а затем повернуть. Это понятие нужно, чтобы описывать цепочку действий как единый процесс и находить её общий результат.
Образ точки при композиции — точка, полученная после выполнения всех преобразований в установленном порядке. Если точка A сначала перешла в A₁, а потом в A₂, то A₂ — её итоговый образ. По образам точек можно построить образ всей фигуры.
Обозначение T₂∘T₁ означает, что сначала выполняется преобразование T₁, а затем T₂. Правое преобразование в записи действует первым, хотя читаем запись обычно слева направо. Такая запись помогает точно указать порядок действий.
Композиция движений — преобразование, полученное последовательным выполнением движений и также являющееся движением. Движение сохраняет расстояния между точками, поэтому после нескольких таких действий расстояния тоже не изменяются. Это позволяет совмещать и сравнивать фигуры.
Чтобы найти образ точки при композиции, сначала строят её образ при первом преобразовании, а затем образ полученной точки при втором. Нельзя сразу применять второе преобразование к исходной точке: оно должно действовать на результат первого. Для фигуры повторяют эту процедуру для её вершин или других значимых точек.
Порядок преобразований важен, потому что второе действие зависит от положения, которое точка получила после первого. При замене последовательности меняется промежуточный образ, а вместе с ним часто и итоговая точка. Поэтому записи T₂∘T₁ и T₁∘T₂ обычно обозначают разные преобразования.
При двух параллельных переносах первая точка смещается на вектор a, а затем на вектор b. Итоговое смещение равно сумме этих направленных отрезков: a + b, поскольку второй перенос добавляет своё направление и длину к уже полученному смещению. Значит, оба действия можно заменить одним параллельным переносом на этот вектор.
При двух осевых симметриях с параллельными осями точка отражается сначала через одну прямую, затем через другую. Перпендикулярное расстояние между параллельными осями проходит дважды, поэтому итоговое смещение всех точек равно удвоенному расстоянию между осями. Направление переноса перпендикулярно осям и определяется порядком их применения.
Если оси двух осевых симметрий пересекаются, первая симметрия меняет направление луча относительно первой оси, а вторая — относительно второй. Угол между исходным и итоговым направлениями складывается из двух углов, равных углу между осями. Поэтому получается поворот вокруг точки пересечения осей на угол, вдвое больший угла между ними.
| Состав преобразований | Результат композиции | Как определить результат |
|---|---|---|
| Два параллельных переноса | Параллельный перенос | Сложить векторы переносов |
| Две центральные симметрии | Параллельный перенос | Направление — от первого центра ко второму, длина — удвоенное расстояние между центрами |
| Две осевые симметрии с параллельными осями | Параллельный перенос | Направление перпендикулярно осям, длина равна удвоенному расстоянию между ними |
| Две осевые симметрии с пересекающимися осями | Поворот | Центр — точка пересечения осей, угол — удвоенный угол между ними |
| Преобразование и обратное ему преобразование | Тождественное преобразование | Каждая точка возвращается в исходное положение |
Сначала определите вид исходных преобразований и взаимное положение их центров или осей. Затем выберите соответствующую строку и выполните указанное правило. Если преобразования применяются в другом порядке, направление результата нужно проверять заново.
Обратное преобразование отменяет действие исходного, а тождественное преобразование оставляет каждую точку на месте. Эти два случая полезны для проверки построений и рассуждений.
Треугольник ABC последовательно подвергли параллельным переносам на векторы a и b. Требуется заменить два переноса одним. Нужно установить, какое общее смещение получает каждая точка треугольника.
Ответ: композиция равносильна одному параллельному переносу на вектор a + b. Направление и длину результата определяют геометрическим сложением этих векторов.
Две параллельные прямые являются осями осевых симметрий, а расстояние между ними равно 3 см. Требуется определить вид композиции и величину переноса. Поскольку оси параллельны, результат нужно искать среди переносов, а не поворотов.
Ответ: композиция является параллельным переносом на 6 см. Его направление перпендикулярно данным осям и зависит от того, какая симметрия выполняется первой.
Оси двух осевых симметрий пересекаются под углом 40°. Нужно построить образ точки и назвать результирующее преобразование. Обозначим точку пересечения осей через O и исходную точку через A.
Ответ: образ точки — A₂, а композиция является поворотом вокруг точки O на 80°. При построении важно выполнить симметрии именно в заданной последовательности.
Ученик читает T₂∘T₁ слева направо и сначала выполняет T₂. Так происходит из-за привычки начинать действие с левой части записи. Проверьте себя: первым всегда действует правое преобразование.
Иногда композицию двух симметрий с параллельными осями считают поворотом. Причина ошибки — внимание к слову симметрия без анализа положения осей. Если оси параллельны, результатом будет перенос, а если пересекаются — поворот.
Угол между пересекающимися осями принимают за угол поворота. Забывают, что направление отражается дважды и углы складываются. Умножьте угол между осями на 2 и только затем назовите угол поворота.
При двух переносах складывают только длины векторов. Такой подход неверен, если векторы направлены в разные стороны или не лежат на одной прямой. Стройте сумму как сумму направленных отрезков с учётом направления каждого вектора.
До изучения композиции нужно знать, что такое движение, параллельный перенос, осевая и центральная симметрия. Также понадобятся правила построения образа точки. Без этих понятий трудно выполнять преобразования по шагам.
Тема опирается на свойства векторов: их сложение определяет общий перенос, а направление вектора показывает, куда перемещаются точки. Поэтому полезно уверенно строить сумму векторов и находить её длину.
Композиция нужна при доказательстве равенства фигур и их совмещении. Она также подготавливает к изучению поворотов и других движений. Умение заменять несколько действий одним преобразованием упрощает геометрические рассуждения.
Почему в композиции преобразований важен порядок действий?
Каждое преобразование действует уже на результат предыдущего, поэтому при смене порядка меняется точка, к которой применяется второе действие. Например, две симметрии с пересекающимися осями дают поворот, направление которого зависит от порядка осей.
Как построить образ фигуры при двух последовательных преобразованиях?
Сначала постройте образ каждой важной точки фигуры при первом преобразовании. Затем полученные точки преобразуйте вторым способом и соедините их в том же порядке.
Почему две осевые симметрии с параллельными осями дают перенос?
Первая симметрия переносит точку через одну ось, а вторая — через другую, параллельную ей. Два последовательных смещения в одном направлении складываются, поэтому все точки получают одинаковый перенос.
Почему угол поворота при пересекающихся осях вдвое больше угла между ними?
При первой симметрии направление луча отражается относительно первой оси, а при второй — относительно второй. Поворот направления между двумя отражениями складывает два равных угла, поэтому получается удвоенный угол между осями.
Как понять, что композиция преобразования с обратным ему является тождественным преобразованием?
Обратное преобразование отменяет действие исходного: оно возвращает каждую полученную точку в исходное положение. Поэтому композиция не меняет ни одной точки и называется тождественным преобразованием.
7.4. Композиция преобразований
