7.3. Взаимно обратные преобразования

Определения и обозначения

Преобразование плоскости — соответствие, которое каждой точке плоскости ставит в соответствие единственную точку той же плоскости. Например, при повороте каждой исходной точке соответствует точка, полученная поворотом. Это понятие позволяет описывать, как меняется положение точек и фигур.

Образ точки — точка, в которую переходит исходная при преобразовании, а прообраз — точка, переходящая в заданную. Если A переходит в A′, то A′ — образ A, а A — прообраз A′. Эти названия помогают не перепутать направление преобразования и его обратного.

Обратное преобразование — преобразование, которое возвращает каждую точку к её исходному положению. Если первое преобразование переводит A в A′, то обратное должно перевести A′ в A. Понятие нужно, чтобы отменять уже выполненное преобразование и восстанавливать исходное расположение фигуры.

Взаимно обратные преобразования — два преобразования, каждое из которых отменяет действие другого. Их последовательное применение возвращает любую точку на прежнее место. Это определение позволяет проверить не только отдельное соответствие точек, но и действие преобразований на всей плоскости.

Как это устроено

Для существования обратного преобразования важно, чтобы у каждой точки-образа был ровно один прообраз. Если одна точка получается из двух разных исходных точек, обратное действие не сможет однозначно выбрать, куда её вернуть. Поэтому соответствие должно сохранять возможность восстановить исходную точку по образу. У движений плоскости это условие выполняется: точки не сливаются в одну.

Проверить взаимную обратность можно на произвольной точке A. Сначала применяют преобразование f, затем g и проверяют, что g(f(A)) = A; после этого меняют порядок и проверяют f(g(A)) = A. Рассматривают любую точку, потому что равенство для одного примера ещё не доказывает правило для всей плоскости. Если обе проверки верны для каждой A, преобразования взаимно обратны.

Последовательное применение взаимно обратных преобразований даёт тождественное преобразование: оно оставляет каждую точку на месте. Причина проста: первое действие переносит точку в образ, а второе точно отменяет этот переход. Результат не зависит от того, в каком порядке применены два взаимно обратных преобразования. Поэтому их композиция не меняет ни отдельные точки, ни фигуру целиком.

Чтобы найти обратное преобразование, проследите, куда исходное переводит произвольную точку, и выполните действие в обратную сторону. Например, при переносе на вектор a точка сдвигается на a, значит, для возвращения нужно сдвинуть её на противоположный вектор −a. Для поворота нужно сохранить центр, но взять противоположное направление и такой же по величине угол. Такая проверка рассуждением работает и для других преобразований.

Движения дают наглядные примеры обратности. Поворот на угол α отменяется поворотом на −α вокруг того же центра, потому что суммарный угол становится нулевым. Перенос на a отменяется переносом на −a, поскольку суммарный вектор равен нулю. Осевая или центральная симметрия при повторении возвращает каждую точку туда, откуда она была отражена, поэтому обратна самой себе.

Преобразование и обратное ему преобразование

В таблице сначала найдите заданное преобразование, затем прочитайте, какое действие его отменяет. Последний столбец показывает результат, если выполнить оба преобразования подряд. У поворота и переноса меняется направление действия, а симметрию достаточно выполнить повторно.

Разбор задач

Задача 1. Точка A при преобразовании переходит в A′. Укажите, куда её переводит обратное преобразование. Здесь не требуется знать вид преобразования: достаточно понять, какое действие оно должно отменить. Проследим за исходной точкой и её образом.

1. Исходное преобразование переводит точку A в точку A′, значит, A′ — образ точки A. Обратное преобразование должно отменить этот переход. Поэтому оно действует на образ, а не переводит A ещё раз по исходному правилу.
2. Возвращаясь по соответствию назад, получаем точку A. Это рассуждение верно для любого преобразования, если для образа однозначно определён прообраз. Ответ: обратное преобразование переводит A′ в A.

Задача 2. Найдите преобразование, обратное повороту на 60° вокруг точки O, и образ заданной точки после последовательного выполнения обоих преобразований. В записи угла направление поворота задаётся знаком. Чтобы действие отменилось, нужно повернуть на тот же угол в противоположном направлении.

1. Центр обратного поворота остаётся O, поскольку обратный переход должен происходить вокруг того же центра. Угол 60° заменяем на −60°. Получаем поворот на −60°.
2. Сначала заданная точка поворачивается на 60°, затем полученная точка — на −60°. Суммарный угол равен 60° + (−60°) = 0°. При нулевом суммарном повороте точка возвращается на исходное место. Ответ: обратное преобразование — поворот на −60° вокруг O; после двух поворотов точка совпадает с заданной.

Задача 3. Первое преобразование переносит каждую точку на вектор a, второе — на вектор b. Найдите условие, при котором они взаимно обратны. При последовательном переносе сдвиги складываются, поэтому нужно найти их общий результат. Чтобы точки вернулись на место, этот результат должен быть нулевым.

1. Пусть исходная точка — A. После первого переноса она оказывается в точке A + a, а после второго — в точке A + a + b. Запись показывает, что результирующий перенос выполняется на вектор a + b.
2. Для возвращения любой точки требуется нулевой суммарный сдвиг: a + b = 0. Отсюда b = −a, то есть второй перенос должен быть направлен противоположно первому и иметь ту же длину. При этом условии порядок переносов не меняет результата. Ответ: преобразования взаимно обратны, если b = −a.

Типичные ошибки

Считать преобразования обратными, если они возвращают одну выбранную точку, — недостаточная проверка. Ученик может увидеть совпадение в простом частном примере и не заметить, что другие точки перемещаются иначе. Обратность должна выполняться для каждой точки плоскости. Проверяйте общий закон преобразования, а не один удобный случай.

Путаница между образом и прообразом меняет направление рассуждения. Например, если A переходит в A′, обратное преобразование действует на A′ и возвращает A, а не снова отправляет A куда-либо. Ошибка возникает, когда названия запоминают без связи со стрелкой перехода. Для проверки запишите соответствие: A → A′, затем A′ → A.

Иногда проверяют только одну последовательность: сначала f, потом g. Но для взаимной обратности нужно также проверить порядок g, затем f, иначе второе сочетание может не возвращать точки. Такая проверка важна, потому что преобразования не всегда можно переставлять местами. Подставьте произвольную точку и убедитесь, что обе композиции дают ту же точку.

Не всякое обратное преобразование совпадает с исходным. Это верно для симметрии, которую повторяют дважды, но поворот на произвольный угол обычно отменяется поворотом на противоположный угол. Путаница возникает из-за переноса свойства симметрии на все движения. Проверьте, какое действие действительно возвращает точку: повторение исходного или действие с противоположным направлением.

Связь с другими темами

Для понимания обратных преобразований нужны понятия преобразования плоскости, образа точки и образа фигуры: они объясняют, что именно меняется при действии. Тема опирается на изученные движения — поворот, перенос и симметрии, для которых легко находить обратное действие. Обратные преобразования также помогают проверять композиции: если последовательность действий возвращает фигуру на место, её результат — тождественное преобразование. Так проще анализировать, как несколько движений влияют на точки.

Что запомнить

• Обратное преобразование возвращает каждую точку к исходному положению.
• У точки-образа должен быть единственный прообраз.
• Последовательное применение взаимно обратных преобразований даёт тождественное преобразование.
• Для проверки обратности учитывают все точки плоскости.
• Обратный к повороту на угол α — поворот на угол −α.
• Обратный к переносу на вектор a — перенос на вектор −a.
• Симметрия обратна самой себе.