7.2. Важные примеры преобразований

Определения и обозначения

Осевая симметрия — преобразование относительно прямой, при котором она перпендикулярна отрезку между любой точкой и её образом и делит этот отрезок пополам. Такая прямая называется осью симметрии. Это определение подсказывает способ построения: достаточно найти перпендикуляр и отложить равные расстояния по обе стороны оси.

Центральная симметрия — преобразование относительно точки, которая является серединой отрезка, соединяющего любую точку с её образом. Эту точку называют центром симметрии. Свойство удобно тем, что образ точки можно построить продолжением прямой через точку и центр.

Поворот — преобразование вокруг заданного центра на заданный угол и в заданном направлении. При этом каждая точка остаётся на том же расстоянии от центра, а угол поворота для всех точек один и тот же. Поэтому для описания поворота необходимо указать центр, величину угла и направление.

Параллельный перенос — преобразование, при котором все точки перемещаются на один и тот же вектор. Вектор задаёт и длину перемещения, и его направление. Это определение позволяет перенести фигуру, не меняя её поворота и взаимного расположения точек.

Как это устроено

При осевой симметрии через исходную точку проводят перпендикуляр к оси, потому что кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряют именно по перпендикуляру. Точка пересечения с осью оказывается серединой отрезка между исходной точкой и образом. Поэтому расстояния от обеих точек до оси одинаковы, а сама ось делит этот отрезок под прямым углом. Если точка уже лежит на оси, её образ совпадает с ней.

При центральной симметрии проводят прямую через точку и центр, чтобы исходная точка, центр и образ лежали на одной линии. Затем за центром откладывают расстояние, равное расстоянию от исходной точки до центра. Так центр становится серединой отрезка, соединяющего точку с образом. Точка, совпавшая с центром, остаётся на месте.

Поворот можно представить как движение точки по окружности: центр поворота служит центром этой окружности, а радиус равен расстоянию от исходной точки до центра. Поэтому при построении сначала сохраняют это расстояние, а затем задают угол между начальным и конечным направлениями. Для всех точек угол и направление должны быть одинаковыми, иначе фигура исказится. Центр поворота при таком преобразовании не перемещается.

Параллельный перенос задают вектором, поэтому для каждой точки надо отложить ровно такое же перемещение, как для остальных: той же длины и в том же направлении. Из-за этого соединяющие точки с образами отрезки параллельны и равны. Взаимное расположение точек фигуры сохраняется: если одну точку перенести влево, нельзя переносить другую вправо. Перенос не поворачивает и не отражает фигуру.

Все четыре преобразования сохраняют расстояния между соответствующими точками. Например, если две исходные точки разделены отрезком длины 5 см, то расстояние между их образами тоже будет 5 см. Следовательно, сохраняются длины сторон и размеры углов, а образ фигуры равен исходной. Меняться могут положение фигуры и её ориентация.

Сравнение важных преобразований

Сначала определите, чем задано преобразование: прямой, точкой, углом с центром или вектором. Затем используйте соответствующее правило связи точки с её образом. Строки о расстоянии и ориентации помогут проверить, какие свойства фигуры должны сохраниться.

Разбор задач

Задача 1. Постройте образ точки A при симметрии относительно прямой l, если A не лежит на l. Ищем точку A′ так, чтобы ось l делила отрезок AA′ пополам и была перпендикулярна ему. Выполните построение в таком порядке:

1. Проведите через A перпендикуляр к прямой l и обозначьте точку пересечения через H.
2. На продолжении AH за прямой l отметьте точку A′ так, чтобы HA′ = HA.
3. Проверьте, что AA′ перпендикулярен l, а H — середина AA′.

Точка A′ — искомый образ. Проверка подтверждает сразу оба условия осевой симметрии: перпендикулярность и равенство расстояний до оси. Если A лежит на l, образом будет сама точка A.

Задача 2. Постройте образ треугольника ABC при центральной симметрии с центром O. Поскольку преобразование задано точкой O, она должна стать серединой отрезка от каждой вершины до её образа. Постройте образы вершин по очереди:

1. Проведите прямые AO, BO и CO.
2. На противоположной от каждой вершины стороне от O отметьте точки A′, B′ и C′ так, чтобы OA′ = OA, OB′ = OB и OC′ = OC.
3. Соедините A′, B′ и C′ в том же порядке, что и исходные вершины.

Треугольник A′B′C′ — искомый образ. Для проверки убедитесь, что O является серединой каждого из отрезков AA′, BB′ и CC′. Порядок соединения сохраняет соответствие сторон исходного треугольника.

Задача 3. Поверните треугольник вокруг точки O на 60° против часовой стрелки. Каждая вершина должна остаться на своей окружности с центром O, а луч от O к её образу должен быть повёрнут на 60° в заданном направлении. Постройте образ так:

1. Проведите лучи OA, OB и OC.
2. Для каждой вершины постройте луч, полученный поворотом исходного луча на 60° против часовой стрелки.
3. На новых лучах отложите OA′ = OA, OB′ = OB и OC′ = OC.
4. Соедините A′, B′ и C′ в порядке обхода исходного треугольника.

Полученный треугольник — искомый образ. Проверьте, что все три угла поворота равны 60°, а расстояния до O сохранились. Если хотя бы для одной вершины выбрать другое направление, получится не заданный поворот.

Типичные ошибки

При осевой симметрии иногда откладывают расстояние до оси по наклонному отрезку. Тогда ось не будет перпендикулярна отрезку между точкой и образом, даже если расстояния до неё кажутся равными. Ошибку допускают, принимая любой отрезок до прямой за кратчайший. Проверьте построение угольником: отрезок к оси должен образовывать прямой угол.

При центральной симметрии центр могут ошибочно принять за один из концов отрезка. В результате образ окажется на неверном расстоянии, а центр не будет серединой. Это путают с построением точки на прямой через центр. Проверьте равенство расстояний от центра до обеих точек и убедитесь, что он лежит между ними.

При повороте для разных вершин иногда откладывают разные углы или поворачивают их в разные стороны. Тогда получившиеся точки не составляют образ при одном повороте, хотя каждая может находиться на своей окружности с центром O. Ошибка возникает, когда направление не отмечено заранее. Для проверки сравните все углы поворота и убедитесь, что они равны и отсчитываются в одну сторону.

При параллельном переносе недостаточно сдвинуть все точки на одинаковое расстояние: направления тоже должны совпадать. Иначе точки перемещаются по разным векторам, а фигура может изменить форму или направление. Такую ошибку допускают, сосредоточившись только на длине перемещения. Нарисуйте отрезки от каждой точки к её образу и проверьте, что они равны, параллельны и одинаково направлены.

Связь с другими темами

Для построений понадобятся перпендикуляр, середина отрезка, равенство отрезков и понятие вектора. Они помогают точно задать положение образа и проверить результат. Преобразования применяются при изучении движений и равенства фигур: равные расстояния объясняют, почему образ совпадает с исходной фигурой по размерам. Симметрия и повороты также помогают находить пары соответствующих элементов и строить доказательства. Наконец, координатный метод позволяет задавать преобразования формулами: координаты точки и её образа связаны по правилу преобразования.

Что запомнить

• При осевой симметрии ось является серединным перпендикуляром к отрезку между точкой и её образом.
• При центральной симметрии центр — середина такого отрезка.
• Поворот сохраняет расстояние каждой точки до центра поворота.
• Параллельный перенос перемещает все точки на один и тот же вектор.
• Все рассмотренные преобразования сохраняют расстояния между точками.
• Образ фигуры строят, находя образы её точек, в частности вершин.