7.1. Понятие преобразования

Определения и обозначения

Преобразование плоскости — правило, которое каждой точке плоскости ставит в соответствие определённую точку той же плоскости. Оно нужно, чтобы точно описывать, как меняются точки и фигуры, а не только говорить, что одна фигура «похожа» на другую. Правило должно указывать результат для каждой исходной точки.

Образ точки A при преобразовании — точка A′, в которую переходит A; записывают A → A′ или T(A) = A′. Буква T обозначает преобразование, а запись T(A) — результат его применения к точке A. Такое обозначение помогает не перепутать исходную точку с той, которая получилась.

Образ фигуры — фигура, состоящая из образов всех точек исходной фигуры. Это определение нужно, чтобы понимать результат преобразования не только для отдельных вершин, но для всей фигуры целиком. Например, образ треугольника включает образы всех точек внутри него и на его границе.

Прообраз точки или фигуры — точка или фигура, которые при данном преобразовании переходят в заданный образ. Он нужен, когда требуется восстановить исходный объект по результату преобразования. У образа может быть один прообраз, несколько прообразов или ни одного, если рассматривается не вся плоскость.

Как это устроено

Преобразование задаёт соответствие между точками плоскости: каждой исходной точке назначается результат. Если правило не говорит, куда переходит какая-либо точка, преобразование задано не полностью, потому что для неё нельзя определить образ. Например, указать лишь переход нескольких выбранных точек недостаточно, чтобы задать преобразование всей плоскости. Поэтому при изучении правила проверяют, что оно охватывает все точки.

Правило преобразования можно описать словами, формулой или чертежом с пояснениями о перемещении точек. Какой бы способ ни использовался, он должен позволять определить образ каждой точки, а не только нескольких примеров. Чертёж сам по себе не всегда задаёт точное соответствие: на нём могут быть показаны лишь отдельные точки. Чтобы понять преобразование, важно выяснить, как правило действует в общем случае.

Образ фигуры получают, рассматривая образы всех её точек, потому что сама фигура состоит из этих точек. Для построения многоугольника удобно начать с характерных точек — его вершин: найти их образы, а затем соединить полученные точки в том же порядке. Это упрощает чертёж, поскольку стороны и границы определяются вершинами. При этом образ не сводится к одним вершинам: правило действует и на остальные точки многоугольника.

У разных исходных точек могут совпасть образы, если это допускает правило. Тогда по одной только точке-образу нельзя однозначно определить, какая из исходных точек в неё перешла. Если же каждому образу соответствует ровно один исходный объект, можно задать обратное преобразование и восстановить исходную точку. Это условие объясняет, почему прообраз не всегда единственный.

Преобразование не обязано сохранять расстояния, углы, форму или размеры: эти свойства определяются конкретным правилом. Например, правило может перемещать точки так, что расстояния между ними изменятся. Поэтому по одному факту преобразования нельзя заключить, что фигуры до и после него равны или подобны. Сохранение каждого свойства нужно обосновывать отдельно, исходя из заданного правила.

Основные объекты при преобразовании плоскости

Сначала найдите исходный объект, затем прочитайте его обозначение и установите, что именно означает соответствующая запись. Штрих у A′ показывает, что это образ A, а не другая запись той же исходной точки. Обозначение T⁻¹ используют для обратного преобразования, только если оно существует.

Разбор задач

1. Обозначение образа точки

Условие. При преобразовании точка A переходит в точку A′. Обозначьте образ точки B, если B переходит в точку B′. Нужно записать соответствие, не меняя направление перехода. Здесь штрих отмечает полученную точку.

1. Определяем исходную точку: в условии это B.
2. Находим, куда она переходит: в точку B′.
3. Записываем переход от исходной точки к образу: B → B′.

Ответ: образ точки B — B′; запись перехода: B → B′.

2. Образ треугольника

Условие. Треугольник ABC преобразован так, что A → A′, B → B′, C → C′. Назовите образ треугольника ABC и укажите, из каких точек он состоит. По условию известны образы вершин. Их обозначения помогут назвать полученный треугольник.

1. Сопоставляем каждой вершине её образ: A переходит в A′, B — в B′, C — в C′.
2. Записываем вершины образа в том же порядке: A′, B′, C′.
3. Учитываем определение: образ включает не только три вершины, а образы всех точек исходного треугольника.

Ответ: образ — треугольник A′B′C′, состоящий из образов всех точек треугольника ABC.

3. Прообраз точки при совпадении образов

Условие. Правило задаёт соответствие A → P, B → P, C → Q. Можно ли однозначно определить прообраз точки P? Проверим, сколько исходных точек переходят в P. Для ответа достаточно рассмотреть переходы, указанные в условии.

1. Ищем все исходные точки, для которых образом является P.
2. В условии таким образом обладают и A, и B.
3. Значит, точка P имеет два указанных прообраза, поэтому выбрать единственный нельзя.

Ответ: нет, прообраз P нельзя определить однозначно: им могут быть точки A и B.

Типичные ошибки

• Считать образом фигуры только её контур или вершины. Так думают, потому что на чертеже обычно отмечают именно границу и характерные точки. Но по определению преобразуются все точки фигуры, в том числе внутренние. Проверьте себя: спросите, учтены ли точки между вершинами и внутри многоугольника.
• Путать исходную точку с образом и записывать переход в обратном направлении. Это случается, когда штрих воспринимают как часть имени, не связывая его с результатом преобразования. Если A → A′, исходная точка — A, а её образ — A′. Проверяйте запись вопросом: «Откуда и куда направлена стрелка?»
• Полагать, что любое преобразование сохраняет расстояния и форму. Часто это связывают с привычными перемещениями фигур, но не каждое правило является таким перемещением. Сохранение свойств определяется конкретным преобразованием. Перед выводом сравните, что именно известно о правиле и гарантирует ли оно сохранение расстояний или углов.
• Считать, что у каждой точки обязательно есть единственный прообраз. Об этом легко подумать, если рассматривать преобразование как соответствие в обе стороны, однако разные точки могут перейти в одну. Проверяйте, нет ли у образа нескольких исходных точек. Единственный прообраз можно утверждать, только если существует обратное преобразование с таким свойством.

Связь с другими темами

Для работы с преобразованиями понадобятся понятия точки и фигуры, а также умение определять, принадлежит ли точка фигуре. Обозначения точек и геометрических объектов помогают записывать соответствия без путаницы между исходным объектом и его образом. Поэтому, если обозначение непонятно, сначала уточните, какой объект оно называет. Понятие преобразования станет основой для изучения движений плоскости, симметрий и других способов сопоставлять фигуры. В этих темах отдельно выясняют, какие свойства сохраняются.

Что запомнить

• Преобразование плоскости сопоставляет точкам плоскости их образы.
• Образ точки A обычно обозначают A′.
• Образ фигуры состоит из образов всех её точек.
• Образ многоугольника можно строить по образам его вершин.
• Не каждое преобразование сохраняет расстояния и углы.
• Обратное преобразование позволяет восстановить исходную точку по её образу, если оно существует.