"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Движение — преобразование пространства, которое сохраняет расстояния между любыми точками. Поэтому после движения отрезки не меняют длину, а треугольники и другие фигуры переходят в равные им фигуры. К движениям относятся осевая и центральная симметрии, параллельный перенос и поворот. Для каждого преобразования важно знать, чем оно задано и как расположены точка и её образ. Эти свойства помогают строить фигуры и доказывать их равенство.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Движение, или изометрия, — преобразование пространства, сохраняющее расстояние между любыми двумя точками. Иными словами, после преобразования ни одна пара точек не сближается и не удаляется. Это определение позволяет проверять, сохраняет ли преобразование форму фигур.
Осевая симметрия — преобразование относительно прямой, которая является серединным перпендикуляром к отрезку между точкой и её образом. Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и образует с ним прямой угол. Такое определение помогает построить образ точки и проверить результат.
Центральная симметрия — преобразование относительно точки, являющейся серединой отрезка между точкой и её образом. Эта точка называется центром симметрии. По этому правилу можно расположить образ на той же прямой, что и исходную точку.
Параллельный перенос смещает каждую точку на один и тот же вектор, а поворот перемещает точки вокруг заданного центра на заданный угол. Вектор задаёт направление и длину смещения, а угол — величину и направление поворота. Оба преобразования сохраняют расстояния, поэтому относятся к движениям.
Пусть точки A и B при движении переходят в A′ и B′. По определению расстояние между образами равно исходному: A′B′ = AB. Значит, отрезок AB переходит в отрезок той же длины. Для треугольника сохраняются все три расстояния между вершинами, поэтому его образ имеет те же стороны и равен исходному треугольнику.
При осевой симметрии точка и её образ находятся на одном перпендикуляре к оси, причём ось проходит через середину соединяющего их отрезка. Если точка лежит на оси, расстояние от неё до оси равно нулю, поэтому её образ совпадает с ней. Если точка не лежит на оси, образ оказывается на таком же расстоянии, но по другую сторону: именно так ось делит отрезок пополам.
При центральной симметрии центр делит отрезок между точкой и её образом пополам. Поэтому точка, совпадающая с центром, остаётся на месте: отрезок между ней и образом имеет нулевую длину. Для любой другой точки образ располагается на той же прямой, но по другую сторону от центра и на равном расстоянии от него.
Параллельный перенос задают вектором: для каждой точки нужно отложить этот вектор с началом в данной точке. У всех точек одинаковы направление и длина смещения. Если перенести обе точки отрезка на один вектор, соединяющий их отрезок лишь сдвинется, не меняя длины; направления сторон и величины углов фигур также сохраняются.
Для поворота задают центр O и угол. Каждая точка перемещается по окружности с центром O, поэтому расстояние от неё до O не меняется. Чтобы понять, почему сохраняется и расстояние между любыми двумя точками, рассмотрите треугольник с вершинами в центре и этих точках: при повороте сохраняются две его стороны и угол между ними. Полученные треугольники равны, следовательно, расстояние между образами точек равно исходному.
| Свойство | Осевая симметрия | Центральная симметрия | Параллельный перенос | Поворот |
|---|---|---|---|---|
| Что задаёт преобразование | Прямая — ось | Точка — центр | Вектор | Центр и угол |
| Какие точки остаются на месте | Точки оси | Центр | При ненулевом векторе — нет | Центр |
| Как расположены точка и её образ | Ось — серединный перпендикуляр к отрезку | Центр — середина отрезка | Образ смещён на заданный вектор | Образ повёрнут вокруг центра на заданный угол |
| Как сохраняются расстояния | Все расстояния между точками | Все расстояния между точками | Все расстояния между точками | Все расстояния между точками |
| Как построить образ точки | Провести перпендикуляр и отложить равное расстояние за ось | Продолжить прямую через центр и отложить равное расстояние | Отложить заданный вектор | Отложить заданный угол при сохранении расстояния до центра |
Используйте строку «Что задаёт преобразование», чтобы определить, какие данные нужны для построения. Строка о расположении точки и образа помогает проверить чертёж. Во всех четырёх случаях расстояния сохраняются, но способ построения разный.
Сопоставим вершины по условию преобразования: A и A′, B и B′, C и C′. Поскольку дано движение, оно сохраняет расстояние между любой парой точек. Поэтому A′B′ = AB, B′C′ = BC и C′A′ = CA.
Мы получили равенство всех трёх сторон одного треугольника соответствующим сторонам другого. Значит, можно применить признак равенства треугольников по трём сторонам. Учитываем именно соответствующие вершины, а не произвольные пары.
Ответ: треугольники ABC и A′B′C′ равны по трём сторонам.
Обозначим заданный вектор через v. Из каждой вершины A, B и C отложим вектор, равный v и сонаправленный с ним. Начала векторов должны находиться в соответствующих вершинах.
Концы отложенных векторов обозначим A′, B′ и C′. Так мы переносим каждую вершину на одно и то же расстояние и в одном направлении. Разные векторы для разных вершин изменили бы форму фигуры и не задали бы параллельный перенос.
Соединим A′, B′ и C′ отрезками. Полученный треугольник — искомый образ ABC. Проверка: AA′, BB′ и CC′ должны быть равны заданному вектору v.
Ответ: треугольник A′B′C′, вершины которого получены переносом A, B и C на вектор v.
Рассмотрим преобразование, которое отражает каждую точку относительно заданной прямой. По условию A переходит в A′, а B — в B′. Это преобразование является осевой симметрией.
Осевая симметрия — движение, поэтому она сохраняет расстояния между любыми двумя точками. Применим это свойство к паре A и B и к их образам A′ и B′. Получаем A′B′ = AB.
Ответ: отрезки AB и A′B′ равны, поскольку осевая симметрия сохраняет расстояния.
Считать движением преобразование, которое сохраняет длину лишь одного отрезка, недостаточно: по определению должны сохраняться расстояния между любыми двумя точками. Так ошибаются, проверяя только один удобный пример. Проверьте условие для произвольной пары точек, а не для выбранного отрезка.
Осевая и центральная симметрии отличаются тем, где находится середина отрезка между точкой и образом. При осевой симметрии середина лежит на оси, а сам отрезок перпендикулярен ей; при центральной середина совпадает с центром. Чтобы не перепутать преобразования, отметьте середину и проверьте, задана ли прямая или точка.
При параллельном переносе нельзя смещать разные точки разными векторами: тогда это уже не перенос всей фигуры на один вектор. Ошибка возникает, когда отдельно подбирают удобное положение каждой вершины. Проверьте, что все векторы от точки к её образу равны и сонаправлены.
Для однозначного задания поворота нужны и центр, и угол. Одного угла недостаточно, потому что вокруг разных точек фигура окажется в разных местах. Перед построением отметьте центр и только затем откладывайте угол; проверьте, что расстояние каждой точки до центра не изменилось.
Для работы с движениями понадобятся знания об отрезках, углах, серединном перпендикуляре и векторах. Эти понятия описывают, где находится образ точки и как его построить. Например, свойства серединного перпендикуляра используются при осевой симметрии, а вектор задаёт параллельный перенос.
Движения помогают доказывать равенство фигур: достаточно установить соответствие точек и использовать сохранение расстояний. Симметрии позволяют находить одинаковые части геометрических объектов и исследовать их свойства. Поэтому тема связывает построения, доказательства и изучение геометрических фигур.
Что именно сохраняет движение?
Движение сохраняет расстояние между любой парой точек и их образами. Значит, сохраняются длины отрезков, а также величины углов: фигура не меняет форму и размер.
Почему образ треугольника при движении равен исходному?
Расстояния между каждой парой вершин сохраняются, поэтому три стороны исходного и полученного треугольников попарно равны. По третьему признаку равенства треугольников эти треугольники равны.
Как построить точку, симметричную данной относительно прямой?
Из данной точки проведите перпендикуляр к прямой и продолжите его на другую сторону. На продолжении отложите такое же расстояние от прямой: полученная точка будет образом, а прямая — серединным перпендикуляром к отрезку между точками.
Чем центральная симметрия отличается от осевой?
При осевой симметрии середина отрезка, соединяющего точку с образом, лежит на оси, и этот отрезок перпендикулярен оси. При центральной симметрии его середина совпадает с заданным центром, а точки лежат на одной прямой по разные стороны от него.
Какие данные нужны, чтобы задать поворот?
Нужны центр поворота и угол, на который поворачивают фигуру. Угол задаёт направление и величину поворота, а центр определяет, вокруг какой точки он происходит.
§ 3. Движения
