"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Уравнение плоскости связывает координаты всех её точек и помогает решать задачи о взаимном расположении объектов в пространстве. Его можно составить, если известны точка плоскости и перпендикулярный ей нормальный вектор. В общем уравнении коэффициенты при x, y и z задают координаты нормального вектора, а подстановка координат точки позволяет проверить, принадлежит ли она плоскости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Нормальный вектор плоскости — ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости. Например, если плоскость задана, нормаль показывает направление, в котором она «смотрит» перпендикулярно своей поверхности. Такой вектор нужен, чтобы записать уравнение плоскости и сравнивать направления плоскостей.
Уравнение плоскости — уравнение, которому удовлетворяют координаты каждой точки плоскости и только её точек. Иными словами, подстановка координат любой точки плоскости превращает уравнение в верное равенство, а точка вне плоскости такого равенства не даст. Это позволяет описывать геометрическое положение плоскости с помощью координат.
Общее уравнение плоскости — уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C не равны нулю одновременно. Буквы x, y, z обозначают координаты произвольной точки, а A, B, C, D — постоянные числа. Условие о коэффициентах гарантирует, что у уравнения есть ненулевой нормальный вектор, а значит, оно может задавать плоскость.
Пусть плоскость проходит через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеет нормальный вектор n = (A, B, C). Возьмём любую другую точку M этой плоскости: отрезок, соединяющий M₀ и M, лежит в плоскости, поэтому вектор M₀M направлен вдоль неё. Нормаль перпендикулярна каждому направлению в плоскости, значит, M₀M перпендикулярен n. Именно это геометрическое условие позволяет получить уравнение.
Координаты вектора M₀M равны (x − x₀, y − y₀, z − z₀). Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Поэтому условие перпендикулярности записывается так: A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0. В этом равенстве переменными остаются координаты точки M, а данные точки и нормали задают постоянные числа.
Полученная запись называется уравнением плоскости через заданную точку с заданным нормальным вектором. Она подходит для любой точки M плоскости, потому что для каждой такой точки вектор M₀M перпендикулярен нормали. И наоборот, если координаты точки удовлетворяют уравнению, соответствующие векторы перпендикулярны, а точка лежит в плоскости, проходящей через M₀ с этой нормалью.
Чтобы перейти к общему виду, раскроем скобки: Ax − Ax₀ + By − By₀ + Cz − Cz₀ = 0. Соберём слагаемые с переменными и перенесём постоянные: Ax + By + Cz + D = 0, где D = −Ax₀ − By₀ − Cz₀. Так свободный член определяется координатами точки и коэффициентами нормали, а не выбирается отдельно, если точка уже задана.
В общем уравнении коэффициенты при x, y и z снова выступают координатами нормального вектора: n = (A, B, C). Это следует из скалярного произведения: при изменении координат вдоль плоскости выражение Ax + By + Cz не меняется, а вектор (A, B, C) перпендикулярен направлениям таких изменений. Поэтому по коэффициентам можно понять направление плоскости, а проверка координат точки показывает, принадлежит ли она этой плоскости.
| Что задано или рассматривается | Уравнение или условие | Что можно определить |
|---|---|---|
| Плоскость через точку с нормальным вектором | A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0 | Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору |
| Общее уравнение плоскости | Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) ≠ (0, 0, 0) | Нормальный вектор (A, B, C) |
| Проверка принадлежности точки плоскости | Подстановка координат точки в уравнение | При верном равенстве точка лежит в плоскости |
Сначала найдите, что именно задано: точка и нормаль или уже готовое общее уравнение. В первом случае подставляйте данные в уравнение через точку, а во втором считывайте нормаль по коэффициентам при координатах. Для проверки точки подставьте её координаты в уравнение и вычислите обе части.
Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(1, −2, 3) и имеющей нормальный вектор n = (2, 1, −1). Нужно использовать форму уравнения, в которой сразу учитываются точка и нормаль. Коэффициентам A, B, C соответствуют координаты вектора n.
Ответ: 2x + y − z + 3 = 0.
Для плоскости 3x − 2y + z − 5 = 0 укажите нормальный вектор и проверьте, принадлежит ли ей точка A(1, 0, 2). Коэффициенты при x, y, z сразу дают нормаль. Для точки нужно подставить каждую координату на своё место и проверить итоговое равенство.
Ответ: нормальный вектор (3, −2, 1); точка A принадлежит плоскости.
Составьте уравнение плоскости через M₀(2, 1, −1), параллельной плоскости 2x − y + 3z + 4 = 0. У параллельных плоскостей одинаковое направление нормалей, поэтому коэффициенты при x, y, z можно взять из исходного уравнения. Свободный член найдём так, чтобы новая плоскость проходила через заданную точку.
Ответ: 2x − y + 3z = 0.
Иногда свободный член D включают в координаты нормального вектора и записывают (A, B, C, D). Так происходит потому, что все четыре числа стоят в одном уравнении, но направление задают только коэффициенты при переменных. Проверьте себя: у нормали должно быть три координаты, соответствующие x, y и z.
Другая ошибка — считать, что A, B и C могут одновременно равняться нулю. Тогда вектор (A, B, C) будет нулевым, а нулевой вектор не может быть нормальным; уравнение сведётся к D = 0. Убедитесь, что хотя бы один из трёх коэффициентов ненулевой, прежде чем называть уравнение уравнением плоскости.
При переходе к общему виду часто теряют знак свободного члена. Причина обычно в том, что постоянные слагаемые переносят через знак равенства, не проверяя результат; верно D = −Ax₀ − By₀ − Cz₀. Подставьте координаты исходной точки в полученное уравнение: левая часть обязательно должна стать нулём.
При проверке точки можно перепутать координаты или забыть проверить, чему равна левая часть. Подставляйте x, y и z строго в соответствующие места, сохраняя знаки и скобки, особенно у отрицательных чисел. Затем вычислите всё выражение: принадлежность подтверждается только равенством нулю.
Для вывода уравнения нужны координаты точек и векторов в пространстве, а также скалярное произведение. Признак перпендикулярности векторов объясняет, почему произведение нормали на вектор, лежащий в плоскости, равно нулю. Если эти понятия знакомы, переход от геометрического условия к формуле становится понятнее.
Уравнение плоскости используют, когда исследуют взаимное расположение плоскостей и прямых, а также находят расстояния и углы в пространстве. Коэффициенты уравнения дают нормаль, с помощью которой сравнивают направления объектов. Подстановка координат помогает проверять принадлежность точки или искать точки пересечения.
Почему нормальный вектор перпендикулярен плоскости?
Так определён нормальный вектор: это ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости. Поэтому он перпендикулярен и любому вектору, лежащему в плоскости.
Как составить уравнение плоскости, если известны точка и нормальный вектор?
Подставьте координаты точки M₀(x₀, y₀, z₀) и нормального вектора (A, B, C) в формулу A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0. Затем при необходимости раскройте скобки.
Как по общему уравнению плоскости найти её нормальный вектор?
В уравнении Ax + By + Cz + D = 0 координаты нормального вектора — коэффициенты при x, y и z. Значит, нормальный вектор имеет вид (A, B, C); свободный член D в него не входит.
Как проверить, лежит ли точка в данной плоскости?
Подставьте координаты точки вместо x, y и z в уравнение плоскости. Если равенство верно, точка лежит в плоскости; если неверно — не лежит.
Может ли уравнение с A = B = C = 0 задавать плоскость?
Нет, такой набор коэффициентов не задаёт нормальный вектор, поскольку вектор (0, 0, 0) не является ненулевым. При этих коэффициентах уравнение превращается в D = 0 и либо не имеет решений, либо верно для всех точек пространства.
2.4. Уравнение плоскости
