8.3. Уравнение плоскости

Определения и обозначения

Уравнение плоскости — это равенство, которому удовлетворяют координаты каждой точки плоскости и которому не удовлетворяют координаты точек вне неё. Оно переводит геометрическое условие «точка лежит на плоскости» в проверку чисел. Поэтому с помощью уравнения можно работать с плоскостью без её изображения.

Общее уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0. Здесь x, y, z — координаты точки, а A, B, C, D — числа; A, B, C не могут одновременно быть равны нулю. Если бы все три коэффициента были нулевыми, уравнение не зависело бы от координат и не описывало бы плоскость.

Нормальный вектор плоскости — ненулевой вектор, перпендикулярный ей. Для уравнения Ax + By + Cz + D = 0 таким вектором служит (A, B, C). Он задаёт направление перпендикуляра к плоскости и помогает составить уравнение, когда известна точка на плоскости.

Если плоскость проходит через точку (x₀, y₀, z₀) и имеет нормальный вектор (A, B, C), её уравнение записывают так: A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0. x₀, y₀, z₀ — координаты заданной точки, а A, B, C — координаты нормального вектора. Первые определяют положение плоскости, вторые — её направление.

Как это устроено

Пусть плоскость проходит через точку M₀ с радиус-вектором r₀, а M — произвольная точка этой плоскости с радиус-вектором r. Вектор r − r₀ направлен вдоль плоскости, поэтому он перпендикулярен нормальному вектору n. Перпендикулярность означает, что их скалярное произведение равно нулю: n · (r − r₀) = 0. Если n = (A, B, C), а M₀ = (x₀, y₀, z₀), получаем уравнение через заданную точку.

Раскроем скобки в записи A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0. Получим Ax + By + Cz − Ax₀ − By₀ − Cz₀ = 0, то есть общее уравнение с D = −Ax₀ − By₀ − Cz₀. Коэффициенты A, B, C совпадают с координатами нормального вектора, потому что в уравнении скалярное произведение этого вектора на любой вектор, лежащий в плоскости, равно нулю. Значит, нормаль перпендикулярна всем направлениям плоскости.

Чтобы проверить, принадлежит ли точка плоскости, подставьте её координаты в левую часть общего уравнения. Например, для точки (x₁, y₁, z₁) вычислите Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D. Если вышел ноль, координаты удовлетворяют уравнению и точка лежит на плоскости; любое другое значение означает, что она находится вне плоскости. Такая проверка заменяет попытку определить положение точки по рисунку.

Три неколлинеарные точки задают единственную плоскость. Чтобы получить её уравнение, вычтите координаты первой точки из координат второй и третьей: так находятся два направляющих вектора, лежащих в плоскости. Их векторное произведение перпендикулярно обоим векторам и потому является нормальным вектором. Подставьте координаты этой нормали и одной из трёх точек в уравнение через точку.

Если тройки коэффициентов A, B, C двух плоскостей пропорциональны, их нормальные векторы параллельны. Тогда плоскости имеют параллельные направления: они либо не пересекаются, либо совпадают. Чтобы различить эти случаи, сравните полные уравнения, включая свободные члены: пропорциональность всех коэффициентов означает, что уравнения задают одну и ту же плоскость. Если пропорциональны только A, B, C, такого вывода сделать нельзя.

Способы задать уравнение плоскости

Сопоставьте, какие данные известны: от этого зависит удобный способ записи. Для трёх точек сначала проверьте, что они не лежат на одной прямой.

Разбор задач

Задача. Составить уравнение плоскости с нормальным вектором (2, −1, 3), проходящей через точку (1, 0, −2). Здесь уже известны и направление плоскости, и точка, поэтому не нужно искать нормаль дополнительно. Подставим данные в уравнение через точку.

1. Используем формулу A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0.
2. Подставляем нормаль (2, −1, 3) и точку (1, 0, −2): 2(x − 1) − (y − 0) + 3(z − (−2)) = 0.
3. Упрощаем: 2(x − 1) − y + 3(z + 2) = 0, поэтому 2x − y + 3z + 4 = 0.

Ответ: 2x − y + 3z + 4 = 0. Проверка по заданной точке даёт 2 − 0 − 6 + 4 = 0, значит, она действительно лежит на плоскости.

Задача. Проверить, принадлежит ли точка (2, −1, 1) плоскости 3x + 2y − z − 5 = 0. Подстановка координат — достаточная проверка, потому что уравнению удовлетворяют ровно точки плоскости. Не нужно сначала преобразовывать уравнение или строить рисунок.

1. Подставляем x = 2, y = −1, z = 1 в левую часть: 3 · 2 + 2 · (−1) − 1 − 5.
2. Вычисляем: 6 − 2 − 1 − 5 = −2.
3. Получилось не ноль, следовательно, координаты точки не удовлетворяют уравнению.

Ответ: точка (2, −1, 1) не принадлежит плоскости. Проверяйте знаки при подстановке особенно внимательно: отрицательная координата умножается на коэффициент вместе со своим знаком.

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные неколлинеарные точки. Пусть точки обозначены A, B и C, а их координаты известны; конкретных координат в условии нет, поэтому запишем общий алгоритм. Он превращает три заданные точки в нормальный вектор и затем в уравнение.

1. Составляем два вектора, например AB = B − A и AC = C − A. Оба лежат в искомой плоскости, поскольку соединяют её точки.
2. Находим их векторное произведение n = AB × AC. Для неколлинеарных точек оно ненулевое и перпендикулярно обоим векторам; обозначим координаты n через (A₁, B₁, C₁).
3. Подставляем нормаль и координаты точки A = (x₀, y₀, z₀) в формулу: A₁(x − x₀) + B₁(y − y₀) + C₁(z − z₀) = 0.

Ответ: полученное уравнение задаёт искомую плоскость. Если векторное произведение оказалось нулевым, точки коллинеарны и этим способом единственную плоскость определить нельзя.

Типичные ошибки

Считать, что A, B и C могут одновременно равняться нулю, — значит забыть, что уравнение должно зависеть от координат. При A = B = C = 0 остаётся только D = 0, которому удовлетворяет любая точка, или D ≠ 0, которому не удовлетворяет ни одна. Проверяйте, что хотя бы один из коэффициентов при x, y, z ненулевой.

При переходе к общему виду иногда теряют D или неверно определяют его знак. Свободный член появляется при раскрытии скобок и равен −Ax₀ − By₀ − Cz₀; ошибка в нём сдвинет плоскость. Подставьте известную точку в полученное уравнение: левая часть обязана стать нулём.

Координаты заданной точки и нормального вектора легко перепутать, потому что оба набора записаны тремя числами. Однако точка показывает, где проходит плоскость, а нормаль задаёт её ориентацию. Сверяйтесь с формулой: координаты точки стоят внутри скобок как вычитаемые значения, а коэффициенты перед скобками — координаты нормали.

Три точки не всегда определяют плоскость однозначно: если они лежат на одной прямой, через эту прямую проходит бесконечно много плоскостей. Эту ошибку допускают, когда сразу строят векторное произведение, не проверяя данные. Убедитесь, что векторы, составленные по трём точкам, не пропорциональны; иначе их векторное произведение равно нулю.

Связь с другими темами

Для уравнения плоскости нужны координаты вектора и скалярное произведение. Условие перпендикулярности векторов — нулевое скалярное произведение — объясняет, почему в уравнении появляется нормаль. Поэтому перед составлением уравнения полезно уметь находить координаты вектора и проверять перпендикулярность.

Координатный способ описывать плоскость продолжает идеи, используемые при уравнении прямой и задании геометрических объектов. Вместо рисунка положение объекта выражается числами, а принадлежность проверяется подстановкой. Позже уравнение плоскости поможет исследовать взаимное расположение прямых и плоскостей, а также находить расстояния и углы в пространстве.

Что запомнить

• Общее уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0.
• Числа A, B, C не равны нулю одновременно.
• Вектор (A, B, C) перпендикулярен плоскости.
• Координаты точки плоскости удовлетворяют её уравнению.
• Для составления уравнения через точку и нормальный вектор используют A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0.
• Три неколлинеарные точки определяют единственную плоскость.