"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Уравнение плоскости связывает координаты всех её точек одним равенством и позволяет отличить их от точек, не лежащих в плоскости. Его общий вид — Ax + By + Cz + D = 0, причём коэффициенты A, B и C одновременно не равны нулю. Они задают нормальный вектор — вектор, перпендикулярный плоскости. Зная этот вектор и одну точку плоскости, можно составить уравнение; подстановкой координат затем проверяют, лежит ли в плоскости другая точка.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнением плоскости называют уравнение, которому удовлетворяют координаты каждой точки этой плоскости и не удовлетворяют координаты точек вне её. Оно превращает геометрическое условие «точка лежит в плоскости» в вычисление по координатам. Поэтому уравнение удобно, когда нужно описать плоскость или проверить положение точки.
Нормальный вектор плоскости — ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости. Его направление показывает, в какую сторону плоскость «смотрит», а длина для задания плоскости несущественна. Нормальный вектор особенно полезен при составлении уравнения по известной точке.
Общее уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где A, B и C не равны нулю одновременно. Коэффициенты при координатах образуют нормальный вектор (A, B, C), а D называют свободным членом. Эта запись позволяет описать плоскость одним равенством.
Уравнение плоскости через точку (x₀, y₀, z₀) с нормальным вектором (A, B, C) записывают так: A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0. Здесь координаты точки (x, y, z) переменные, а x₀, y₀, z₀ заданы заранее. Формула нужна, когда известны одна точка плоскости и направление, перпендикулярное ей.
Пусть плоскость проходит через точку M₀, а M — любая другая точка этой плоскости. Тогда вектор M₀M направлен внутри плоскости, а нормальный вектор n перпендикулярен любому такому направлению. По определению скалярного произведения перпендикулярных векторов их скалярное произведение равно нулю. Значит, условие принадлежности точки плоскости можно записать как n · M₀M = 0.
Обозначим M₀ координатами (x₀, y₀, z₀), M — координатами (x, y, z), а нормальный вектор — (A, B, C). Тогда M₀M = (x − x₀, y − y₀, z − z₀), поскольку координаты вектора получают вычитанием координат его начала из координат конца. Подставляем эти координаты в скалярное произведение: A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0. Так получается уравнение плоскости через точку с заданным нормальным вектором.
Если раскрыть скобки, выражение можно привести к виду Ax + By + Cz + D = 0. Например, свободный член появляется из произведений −Ax₀, −By₀ и −Cz₀, а не задаёт направление нормали. Поэтому за нормальный вектор принимают именно (A, B, C). Такой переход позволяет записывать уравнение в удобной общей форме.
Верно и обратное: пусть A, B и C не равны нулю одновременно и есть точки, координаты которых удовлетворяют Ax + By + Cz + D = 0. Вычтем равенства для двух таких точек: свободный член D сократится, и получится, что вектор между точками перпендикулярен (A, B, C). Следовательно, все решения лежат в плоскости с нормальным вектором (A, B, C), а уравнение действительно задаёт плоскость.
Чтобы выяснить, лежит ли конкретная точка в плоскости, не нужно строить чертёж. Достаточно подставить её координаты на места x, y и z и проверить, выполняется ли равенство. Это следует из самого смысла уравнения: его решениями являются координаты точек плоскости.
| Запись или элемент | Что обозначает | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Ax + By + Cz + D = 0 | Общее уравнение плоскости | A, B и C одновременно не равны нулю |
| (A, B, C) | Нормальный вектор плоскости | D не является его координатой |
| Подстановка координат в уравнение | Условие принадлежности точки плоскости | Координаты подставляют в порядке x, y, z |
| A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0 | Уравнение через точку (x₀, y₀, z₀) с нормальным вектором (A, B, C) | Координаты вектора от заданной точки: (x − x₀, y − y₀, z − z₀) |
Сначала найдите в записи коэффициенты A, B, C и свободный член D: так проще сразу определить нормаль и проверить, что уравнение задаёт плоскость. Если известны точка и нормаль, удобнее начинать с формулы через точку, а затем при необходимости раскрывать скобки. Для проверки принадлежности используйте строку об условии для координат и подставляйте значения без перестановки.
Проверим, лежит ли M(1, −2, 3) в плоскости 2x − y + z − 7 = 0. Подстановка сразу даёт ответ: если после вычислений левая часть равна нулю, координаты точки удовлетворяют уравнению. Важно сохранить знаки координат и помнить, что перед y стоит коэффициент −1.
Ответ: точка M лежит в плоскости. Получившееся равенство 0 = 0 подтверждает принадлежность.
Составим уравнение плоскости, проходящей через A(1, 0, −2) и имеющей нормальный вектор n = (2, −1, 3). Координаты нормали сразу дают коэффициенты при соответствующих переменных. Координаты A подставим в формулу через точку, а затем раскроем скобки, чтобы получить общее уравнение.
Ответ: 2x − y + 3z + 4 = 0. Проверка по точке A даёт 2 · 1 − 0 + 3 · (−2) + 4 = 0, значит, плоскость проходит через неё.
Пусть заданы три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой. Чтобы найти плоскость, нужно получить её нормальный вектор: векторы AB и AC лежат в искомой плоскости и не параллельны. Вектор, перпендикулярный обоим, можно найти через векторное произведение AB × AC; затем используем известную точку A.
Ответ: полученное равенство — уравнение искомой плоскости. Оно проходит через A, а векторы AB и AC лежат в этой плоскости благодаря выбранной нормали.
Ошибка: считать, что A, B и C могут одновременно равняться нулю. Тогда уравнение станет D = 0: при D = 0 ему удовлетворят любые точки, а при D ≠ 0 не удовлетворит ни одна. Обычно путают допустимый нулевой отдельный коэффициент с нулём всех трёх коэффициентов. Проверьте, что хотя бы один из A, B, C отличен от нуля.
Ошибка: включать D в нормальный вектор и записывать его как (A, B, C, D). Свободный член не умножается на координату и не влияет на направление нормали, поэтому такая запись неверна. Путаница возникает из-за того, что D стоит в том же уравнении. Для самопроверки выделите коэффициенты именно при x, y и z.
Ошибка: записывать вектор M₀M с разностью координат в обратном порядке. Если начало в M₀, а конец в M, координаты равны (x − x₀, y − y₀, z − z₀), иначе вектор будет направлен противоположно. Знак легко потерять при подстановке в формулу через точку. Проверьте, что в каждой разности координата конца стоит первой.
Ошибка: подставлять координаты не на места соответствующих переменных. Координата x умножается на A, y — на B, z — на C; перестановка меняет проверяемое выражение. Такое случается, когда координаты точки записывают в другом порядке, чем уравнение. Сверяйте каждую подстановку отдельно: x, затем y, затем z.
Для вывода уравнения нужны координаты точек и векторов в пространстве, а также скалярное произведение. Именно условие перпендикулярности через скалярное произведение превращает геометрическую связь нормали и плоскости в уравнение. Позже это уравнение помогает исследовать взаимное расположение прямых и плоскостей. Оно также используется при вычислении расстояний в пространстве.
Почему коэффициенты при x, y и z задают нормальный вектор плоскости?
Если две точки удовлетворяют уравнению, при вычитании их равенств получается, что вектор между ними перпендикулярен вектору (A, B, C). Такие векторы лежат в плоскости, поэтому (A, B, C) является её нормальным вектором.
Как составить уравнение плоскости, если известны точка и нормальный вектор?
Если точка имеет координаты (x₀, y₀, z₀), а нормальный вектор — (A, B, C), запишите A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0. При необходимости раскройте скобки и приведите уравнение к общему виду.
Как проверить, принадлежит ли точка заданной плоскости?
Подставьте координаты точки вместо x, y и z в уравнение плоскости. Если после вычислений получается верное равенство, например 0 = 0, точка лежит в плоскости; иначе не лежит.
Почему коэффициенты A, B и C не могут быть одновременно равны нулю?
Если они все равны нулю, уравнение превращается в D = 0 и перестаёт задавать плоскость. При D = 0 ему удовлетворяют все точки пространства, а при D ≠ 0 — ни одна.
Задаёт ли уравнение плоскости то же множество точек, если умножить его на ненулевое число?
Да. При умножении обеих частей уравнения на любое ненулевое число его решения не меняются. Поэтому полученное уравнение задаёт ту же плоскость.
38. Уравнение плоскости
