25.2. Уравнение плоскости

Определения и обозначения

Уравнение плоскости — соотношение между координатами, которому удовлетворяют координаты всех точек плоскости и только их. Иными словами, подставив координаты точки, можно проверить, лежит ли она на плоскости. Такое описание удобно, когда плоскость нужно задавать вычислениями, а не чертежом.

Нормальный вектор плоскости — ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости. Ненулевым он должен быть потому, что нулевой вектор не задаёт направление. Нормаль помогает записать уравнение плоскости и определить её ориентацию в пространстве.

Если плоскость проходит через точку A, а её нормаль — вектор n, уравнение можно записать так: n · (r − rA) = 0. Здесь r — радиус-вектор произвольной точки плоскости, а rA — радиус-вектор точки A; их разность направлена от A к этой точке. Скалярное произведение равно нулю, потому что этот отрезок лежит в плоскости и перпендикулярен нормали.

Общее уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C не равны нулю одновременно. Коэффициенты при координатах образуют нормальный вектор (A; B; C), а D — свободный член. Такая запись позволяет быстро извлечь нормаль и проверить принадлежность точки плоскости.

Как это устроено

Чтобы задать плоскость, указывают точку A на ней и нормаль n. Через A можно провести много плоскостей, но заданный перпендикулярный вектор оставляет только одну: он фиксирует направление плоскости. Любая точка X этой плоскости отличается от A вектором AX, лежащим в плоскости.

Вектор AX перпендикулярен нормали, а для перпендикулярных векторов скалярное произведение равно нулю. Поэтому условие n · AX = 0 выполняется для каждой точки X плоскости. Если координаты X обозначить (x; y; z), а координаты A — (x₀; y₀; z₀), это условие превращается в уравнение через точку и нормаль.

Пусть n = (A; B; C). Раскрывая скалярное произведение, получаем A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0. После раскрытия скобок это уравнение принимает вид Ax + By + Cz + D = 0, где D = −Ax₀ − By₀ − Cz₀. Значит, коэффициенты при координатах действительно задают нормаль плоскости.

Верно и обратное: уравнение первой степени Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C не все нули, задаёт плоскость. У него есть решения, а разность координат любых двух решений (Δx; Δy; Δz) удовлетворяет AΔx + BΔy + CΔz = 0. Следовательно, вектор (A; B; C) перпендикулярен направлениям, соединяющим точки-решения, то есть является нормалью этой плоскости.

Если известны три точки, сначала выбирают одну из них и строят два вектора к двум другим. Когда точки не лежат на одной прямой, эти векторы не параллельны и задают направления внутри плоскости. Их векторное произведение перпендикулярно обоим, поэтому служит нормалью; затем можно подставить её и координаты выбранной точки в уравнение через точку.

Способы записи уравнения плоскости

Сначала определите, какие данные задачи известны, и выберите соответствующую строку. Если дана точка с нормалью, сразу используйте уравнение через точку; если известны три точки, сначала найдите нормаль. Для готового общего уравнения достаточно прочитать коэффициенты при x, y и z.

Разбор задач

1. Плоскость через точку с заданной нормалью

Составить уравнение плоскости через A(1; −2; 3) с нормалью n = (2; 1; −1). Используем уравнение A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0: координаты нормали становятся коэффициентами, а координаты точки — значениями с индексом 0.

1. Подставим данные: 2(x − 1) + 1(y − (−2)) − 1(z − 3) = 0.
2. Раскроем скобки: 2x − 2 + y + 2 − z + 3 = 0.
3. Соберём слагаемые: 2x + y − z + 3 = 0.

Проверка: подстановка координат A даёт 2 − 2 − 3 + 3 = 0. Ответ: 2x + y − z + 3 = 0.

2. Плоскость через три точки

Найти плоскость через A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1). Сначала построим два вектора в плоскости, а затем найдём перпендикулярный им вектор. Точки не лежат на одной прямой: например, векторы AB и AC не пропорциональны.

1. Вычислим AB = (−1; 1; 0) и AC = (−1; 0; 1).
2. Их векторное произведение AB × AC = (1; 1; 1), значит, это нормаль плоскости.
3. Используем точку A: (x − 1) + y + z = 0.
4. Раскроем скобки и получим x + y + z − 1 = 0.

Координаты всех трёх заданных точек удовлетворяют уравнению. Ответ: x + y + z − 1 = 0.

3. Плоскость, параллельная заданной

Найти плоскость через P(2; −1; 4), параллельную 3x − 2y + z − 5 = 0. У параллельных плоскостей нормали параллельны, поэтому для искомой можно взять ту же нормаль (3; −2; 1). Подставим её и координаты P в уравнение через точку.

1. Запишем: 3(x − 2) − 2(y − (−1)) + (z − 4) = 0.
2. Раскроем скобки: 3x − 6 − 2y − 2 + z − 4 = 0.
3. Соберём постоянные: 3x − 2y + z − 12 = 0.

Подстановка P даёт 6 + 2 + 4 − 12 = 0, а нормаль совпадает с нормалью исходной плоскости. Ответ: 3x − 2y + z − 12 = 0.

Типичные ошибки

• Считать нулевой вектор нормалью нельзя: у него нет направления, а значит, он не определяет перпендикуляр к плоскости. Такую ошибку допускают, если забывают условие «ненулевой». Проверьте, что хотя бы одна координата нормали отлична от нуля.

• При подстановке можно перепутать координаты точки или компоненты нормали, например поставить коэффициент при x к разности y − y₀. Это обычно происходит из-за спешки. Запишите координаты в порядке x, y, z и проверяйте каждую пару отдельно.

• Если забыть свободный член или неверно раскрыть скобки, уравнение изменится и плоскость может не пройти через заданную точку. Ошибку часто допускают при переносе чисел из скобок. Подставьте координаты исходной точки в результат: левая часть должна обратиться в ноль.

• Три точки на одной прямой не определяют единственную плоскость: через эту прямую можно провести много плоскостей. Проверяйте, что два вектора, составленные из этих точек, не пропорциональны. Если их векторное произведение равно нулю, выбранные направления не задают единственную нормаль.

Связь с другими темами

Для работы с уравнением плоскости нужны координаты точек и векторов в пространстве, скалярное произведение и условие перпендикулярности. Координаты позволяют перевести геометрические данные в вычисления, а скалярное произведение выражает прямым равенством перпендикулярность. Без этих инструментов нельзя обосновать уравнение через точку и нормаль.

Уравнение плоскости используют при изучении взаимного расположения прямых и плоскостей, а также расстояний и углов в пространстве. Например, коэффициенты общего уравнения помогают сравнить нормали плоскостей. Поэтому умение записывать уравнение становится основой для решения более сложных задач стереометрии.

Что запомнить

• Нормальный вектор плоскости перпендикулярен каждому направлению, лежащему в этой плоскости.
• Уравнение плоскости через точку A и нормаль n задаётся условием n · (r − rA) = 0.
• Общий вид уравнения плоскости: Ax + By + Cz + D = 0.
• Вектор (A; B; C) является нормальным вектором плоскости общего уравнения.
• Для задания плоскости через три точки эти точки не должны лежать на одной прямой.