25.3. Прямая в пространстве в координатах

Определения и обозначения

Прямая в пространстве в координатах — множество точек, положение которых задаётся координатами и одним линейным параметром. Проще говоря, параметр позволяет перемещаться по прямой, а три координаты показывают положение каждой полученной точки. Такая запись нужна, чтобы описывать геометрические объекты вычислениями и проверять, какие точки им принадлежат.

Направляющий вектор прямой — ненулевой вектор, параллельный прямой и задающий направление движения по ней. Его координаты показывают, как меняются координаты точки при перемещении вдоль прямой. Вектор можно умножить на любое ненулевое число: направление прямой от этого не изменится, хотя движение может быть описано в обратную сторону.

Параметрические уравнения прямой записывают координаты её точки через параметр t: x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct. Здесь (x₀; y₀; z₀) — координаты известной точки, а (a; b; c) — направляющий вектор. Эти формулы нужны, когда требуется получить координаты любой точки прямой или проверить принадлежность заданной точки.

Канонические уравнения прямой связывают приращения координат с координатами направляющего вектора: (x − x₀)/a = (y − y₀)/b = (z − z₀)/c. Каждое отношение показывает, во сколько раз приращение соответствующей координаты отличается от компоненты направления. Такая запись удобна для сопоставления прямой с другими объектами, но знаменатели не должны быть нулевыми.

Как это устроено

Через заданную точку пространства можно провести множество прямых, поэтому одной точки недостаточно. Ненулевой направляющий вектор выбирает среди них ровно одну прямую: через эту точку проводят линию, параллельную вектору. Если заменить вектор на противоположный или умножить его на ненулевое число, получится то же направление и та же прямая. Нулевой вектор не подходит, потому что у него вообще нет направления.

Пусть точка M движется по прямой из M₀ вдоль вектора a. При параметре t её радиус-вектор равен r = r₀ + t·a, то есть к радиус-вектору начальной точки прибавляется вектор, умноженный на число. При t = 0 получаем M₀, при других значениях — другие точки прямой. Если разложить это векторное равенство по координатам, получатся формулы x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct; один и тот же t используется во всех трёх формулах, потому что речь идёт об одной точке.

Чтобы получить канонические уравнения, в каждой параметрической формуле выражают t: например, t = (x − x₀)/a. Все три выражения равны одному параметру, поэтому их можно приравнять друг другу и исключить t. Если какая-либо компонента направляющего вектора нулевая, деление на неё невозможно: вместо отношения появляется постоянная координата, например b = 0 означает y = y₀. Поэтому каноническую запись в таком случае составляют из оставшихся отношений и отдельного равенства для постоянной координаты.

Если известны две различные точки A и B, то вектор AB направлен вдоль проходящей через них прямой. Его координаты находят вычитанием координат A из координат B: (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁). Разность не будет нулевой, поскольку точки различны. Теперь координаты точки A можно использовать как x₀, y₀, z₀, а координаты AB — как компоненты направляющего вектора в стандартных формулах.

Чтобы проверить, лежит ли точка на прямой, подставляют её координаты в параметрические уравнения. Если все три равенства дают одно и то же значение t, точка действительно находится на прямой; разные значения означают, что её координаты не могут соответствовать одному положению. Две записи могут выглядеть по-разному, но задавать одну прямую: для этого их направляющие векторы должны быть коллинеарны, а сами прямые — иметь общую точку. Одного совпадения направлений недостаточно: так могут быть заданы параллельные прямые.

Способы задания прямой в пространстве

Выбирай запись по тому, какие данные известны и что нужно найти: параметрическая форма удобна для подстановки координат, а каноническая сразу показывает связь между приращениями. Если прямая задана двумя точками, сначала найди их разность координат и проверь, что точки не совпадают. Перед использованием канонической формы проверь, нет ли нулевых знаменателей.

Разбор задач

Прямая через точку и направляющий вектор

Составим параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через A(1; −2; 3) с направляющим вектором a = (2; 1; −4). Координаты точки подставим вместо x₀, y₀, z₀, а компоненты вектора — вместо a, b, c. Поскольку все компоненты вектора ненулевые, каноническая запись не потребует отдельного равенства.

1. Подставляем данные в параметрические формулы: x = 1 + 2t, y = −2 + t, z = 3 − 4t.
2. Выражаем параметр из каждой формулы: t = (x − 1)/2, t = y + 2, t = (3 − z)/4.
3. Приравниваем эти выражения, поскольку каждое равно одному t: (x − 1)/2 = y + 2 = (3 − z)/4.

Ответ: x = 1 + 2t, y = −2 + t, z = 3 − 4t; (x − 1)/2 = (y + 2)/1 = (z − 3)/(−4).

Проверка принадлежности точки

Проверим, принадлежит ли B(5; 0; −5) прямой x = 1 + 2t, y = −2 + t, z = 3 − 4t. Важно не ограничиваться одной или двумя координатами: точка пространства должна удовлетворять всем трём уравнениям при одном значении параметра. Найдём t отдельно по каждой координате.

1. Из 5 = 1 + 2t получаем t = 2.
2. Из 0 = −2 + t также получаем t = 2.
3. Проверяем третью координату: 3 − 4·2 = −5, что совпадает с координатой точки B.

Ответ: точка B принадлежит прямой, так как все три координаты соответствуют t = 2.

Прямая через две точки

Запишем уравнение прямой через A(1; 2; −1) и B(3; −2; 5), а затем проверим точку C(2; 0; 2). Сначала найдём направляющий вектор, вычитая координаты A из координат B. Для проверки подставим координаты C в полученные уравнения и убедимся, что параметр согласуется во всех координатах.

1. Находим AB = (3 − 1; −2 − 2; 5 − (−1)) = (2; −4; 6).
2. Подставляем точку A и вектор AB: x = 1 + 2t, y = 2 − 4t, z = −1 + 6t. Канонически: (x − 1)/2 = (y − 2)/(−4) = (z + 1)/6.
3. Для C из первой координаты получается t = (2 − 1)/2 = ½. По второй координате t = (0 − 2)/(−4) = ½, по третьей t = (2 + 1)/6 = ½.

Ответ: прямая имеет указанное уравнение; точка C ей принадлежит, поскольку во всех координатах получается t = ½.

Типичные ошибки

Нулевой направляющий вектор. Иногда берут вектор (0; 0; 0), поскольку он формально задан тремя координатами. Но такой вектор не задаёт направления, а параметрическая запись с ним описывает только одну точку. Проверь, что хотя бы одна из его координат отлична от нуля.

Неверное вычитание координат точек. При поиске направляющего вектора можно перепутать порядок вычитания или изменить знак только у одной координаты. Вычитать нужно в одном порядке для всех компонент, например B − A. Если взять A − B, направление изменится на противоположное, но прямая останется той же; проверь, что получен именно единый вектор разности.

Потеря условий при переходе к канонической форме. Если компоненту направляющего вектора, равную нулю, поставить в знаменатель, получится деление на ноль. Такую компоненту нужно заменить равенством постоянной координаты: например, c = 0 означает z = z₀. Проверь каждую координату направляющего вектора до записи отношений.

Проверка точки только по двум координатам. Две координаты могут дать одно значение параметра, но третья — ему противоречить. Такую ошибку допускают, когда останавливаются после первых совпавших уравнений. Подставь точку во все три уравнения и сравни значения t, полученные из каждой координаты.

Связь с другими темами

Для работы с прямыми нужны координаты точек и векторов в пространстве, умение складывать и вычитать векторы и понимать параметрическое задание движения. Эти знания помогают перейти от геометрического описания прямой к формулам и обратно. Уравнения прямой применяются при изучении взаимного расположения прямых и плоскостей, а также при вычислении расстояний и углов в пространстве. Координатный метод особенно полезен в стереометрических задачах, где геометрические условия можно выразить через алгебраические равенства.

Что запомнить

• Прямая задаётся точкой и любым ненулевым направляющим вектором.
• Параметрические уравнения описывают координаты всех точек прямой через один параметр.
• Канонические уравнения получают исключением параметра из параметрических уравнений.
• Для прямой через две точки направляющий вектор можно взять равным разности координат этих точек.
• При проверке принадлежности точки параметр, найденный по разным координатам, должен иметь одно и то же значение.
• Нулевые координаты направляющего вектора нельзя использовать в знаменателях канонической записи.
• Разные уравнения могут задавать одну и ту же прямую, если имеют коллинеарные направляющие векторы и общую точку.