25.4. Взаимное расположение прямой и плоскости в координатах

Определения и обозначения

Направляющий вектор прямой — ненулевой вектор, параллельный этой прямой. В записи x = x₀ + lt, y = y₀ + mt, z = z₀ + nt его координаты — (l, m, n), то есть коэффициенты при параметре t. Он нужен, чтобы описать направление движения по прямой.

Нормальный вектор плоскости — ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости. Для уравнения Ax + By + Cz + D = 0 это вектор (A, B, C). С его помощью сравнивают направление прямой с перпендикулярным направлением плоскости.

Уравнение прямой в пространстве задаёт координаты её точек через параметр t: каждому значению параметра соответствует одна точка прямой. Начальные координаты x₀, y₀, z₀ задают известную точку, а коэффициенты l, m, n — направление. Такая форма удобна для подстановки в другие уравнения.

Уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0. Координаты каждой точки плоскости превращают левую часть равенства в ноль. Поэтому подстановка координат точки позволяет проверить, принадлежит ли она плоскости.

Как это устроено

Из параметрических уравнений прямой направляющий вектор получают непосредственно: нужно взять коэффициенты при одном и том же параметре. Например, для x = 2 + 3t, y = 1 − t, z = 4 + 2t это вектор s = (3, −1, 2). Свободные числа здесь не входят в направляющий вектор, потому что они определяют положение начальной точки, а не направление.

В уравнении плоскости коэффициенты при x, y и z образуют нормальный вектор n = (A, B, C). Причина в том, что изменение координат внутри плоскости не имеет составляющей в направлении нормали. Поэтому нормаль позволяет проверить, насколько направление прямой направлено поперёк плоскости.

Для этого находят скалярное произведение s · n = lA + mB + nC. Если оно ненулевое, направляющий вектор прямой не перпендикулярен нормали, а значит, направление прямой имеет составляющую, ведущую через плоскость. Двигаясь по такой прямой, мы переходим с одной стороны плоскости на другую, поэтому пересечение происходит в одной точке.

Если скалярное произведение равно нулю, направляющий вектор перпендикулярен нормали и потому параллелен плоскости. Но из этого ещё не следует, что вся прямая лежит в плоскости: она может проходить рядом с ней. Нужно взять любую точку прямой и проверить её подстановкой в уравнение плоскости.

Для поиска точки пересечения используют сам параметр. Координаты x(t), y(t), z(t) подставляют в уравнение плоскости и получают обычное линейное уравнение относительно t. Найденное значение параметра подставляют во все три формулы прямой, чтобы получить координаты точки пересечения.

Взаимное расположение прямой и плоскости по координатным уравнениям

Сначала вычислите скалярное произведение направляющего и нормального векторов. Ненулевой результат сразу даёт пересечение, а нулевой требует дополнительной проверки точки. В последней строке таблицы проверяются одновременно направление прямой и принадлежность её точки плоскости.

Разбор задач

Задача 1

Определим взаимное расположение прямой x = 1 + 2t, y = 3 − t, z = 2t и плоскости x + 2y + z − 4 = 0. Направление прямой задаёт вектор s = (2, −1, 2), а нормаль плоскости — вектор n = (1, 2, 1). Достаточно сравнить их с помощью скалярного произведения.

1. Вычислим s · n = 2 · 1 + (−1) · 2 + 2 · 1 = 2.
2. Результат ненулевой, поэтому направление прямой не параллельно плоскости.
3. При необходимости точку пересечения найдём подстановкой: (1 + 2t) + 2(3 − t) + 2t − 4 = 0, откуда 3 + 2t = 0 и t = −3/2.
4. Координаты точки равны x = −2, y = 9/2, z = −3.

Ответ: прямая пересекает плоскость в точке (−2; 9/2; −3).

Задача 2

Рассмотрим прямую x = 2 + t, y = 1 − 2t, z = 3 + t и плоскость x + y + z − 6 = 0. Направляющий вектор прямой s = (1, −2, 1), нормальный вектор плоскости n = (1, 1, 1). Сначала выясним, может ли прямая иметь направление внутри плоскости.

1. Получаем s · n = 1 − 2 + 1 = 0, поэтому прямая параллельна плоскости или лежит в ней.
2. Возьмём точку прямой при t = 0: P(2; 1; 3).
3. Подставим её координаты: 2 + 1 + 3 − 6 = 0. Точка принадлежит плоскости.

Ответ: прямая лежит в плоскости.

Задача 3

Найдём точку пересечения прямой x = 1 + t, y = 2 − t, z = 3 + 2t с плоскостью 2x + y − z − 1 = 0. Здесь направляющий вектор (1, −1, 2), а нормальный вектор (2, 1, −1), их скалярное произведение равно 2 − 1 − 2 = −1, поэтому пересечение должно быть единственным. Остаётся найти соответствующее значение параметра.

1. Подставим координаты прямой: 2(1 + t) + (2 − t) − (3 + 2t) − 1 = 0.
2. После упрощения получаем −t = 0, значит, t = 0.
3. Подставляем параметр во все уравнения: x = 1, y = 2, z = 3.

Ответ: точка пересечения — P(1; 2; 3).

Типичные ошибки

Иногда направляющий вектор прямой путают с нормальным вектором плоскости. Это происходит потому, что оба вектора записываются тройкой чисел, но получают их из разных уравнений. Проверьте себя: коэффициенты при параметре относятся к прямой, а коэффициенты при x, y, z — к нормали плоскости.

Нулевое скалярное произведение ошибочно считают доказательством отсутствия пересечения. Оно означает только параллельность направления прямой плоскости, поэтому прямая может лежать в самой плоскости. После нулевого результата обязательно проверьте точку прямой.

Некоторые проверяют принадлежность плоскости только по направлению прямой. Направление показывает, как прямая расположена относительно плоскости, но не говорит, где она находится. Надёжная проверка состоит из двух шагов: скалярное произведение равно нулю, затем координаты одной точки удовлетворяют уравнению плоскости.

При поиске пересечения можно найти параметр и забыть вычислить координаты. Тогда решение остаётся незаконченным, ведь требуется точка, а не только число t. Подставьте найденный параметр отдельно в формулы для x, y и z.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны координаты векторов, их скалярное произведение и проверка точки подстановкой в уравнение. Она опирается на параметрические уравнения прямой в пространстве и общее уравнение плоскости. Те же приёмы используются при нахождении углов и расстояний, а также в координатном методе стереометрии.

Что запомнить

• Направляющий вектор прямой берут из коэффициентов при параметре.
• Нормальный вектор плоскости составляют коэффициенты при x, y и z.
• Ненулевое скалярное произведение направляющего и нормального векторов означает пересечение.
• Нулевое скалярное произведение означает параллельность направлений.
• При нулевом произведении принадлежность точки прямой плоскости отличает случай, когда прямая лежит в плоскости.
• Точку пересечения находят подстановкой уравнений прямой в уравнение плоскости.