§ 26. Расстояние от точки до плоскости в координатах

Определения и обозначения

Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Перпендикуляр выбирают потому, что это самый короткий отрезок, соединяющий точку с плоскостью. Именно эту длину требуется вычислить по координатам.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат записывают так: Ax + By + Cz + D = 0. Числа A, B и C не могут быть одновременно равны нулю, иначе координаты точек не задавали бы плоскость. Такая запись позволяет подставить координаты любой точки и проверить, лежит ли она на плоскости.

Нормальный вектор плоскости — это вектор, перпендикулярный её поверхности. Для уравнения Ax + By + Cz + D = 0 нормальным является вектор n = (A, B, C). Он нужен потому, что расстояние измеряется именно в направлении, перпендикулярном плоскости.

Как это устроено

Если точка M(x, y, z) лежит на плоскости Ax + By + Cz + D = 0, её координаты удовлетворяют этому равенству. Значит, координаты точки можно подставить вместо x, y и z, а коэффициенты A, B, C, D определяют, какие точки принадлежат плоскости. Для точки, не лежащей на плоскости, левая часть равенства уже не будет равна нулю.

Рассмотрим два направления, лежащих в плоскости, и обозначим их векторами u и v. Для каждого такого направления скалярное произведение с вектором (A, B, C) равно нулю. Следовательно, этот вектор перпендикулярен всем направлениям плоскости, а значит, является её нормальным вектором.

Из точки к плоскости можно провести много отрезков, но кратчайшим будет перпендикуляр. Его направление совпадает с направлением нормального вектора, поэтому задача о расстоянии сводится к нахождению длины проекции некоторого перемещения на нормаль. При переходе от самого вектора к единичному нормальному направлению появляется деление на длину нормального вектора.

Для точки P(x₀, y₀, z₀) значение Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D показывает, насколько координаты точки не удовлетворяют уравнению плоскости. После нормировки этого значения на длину вектора (A, B, C) получаем расстояние. Поэтому формула имеет вид d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²).

Решение удобно выполнять в определённом порядке. Сначала записывают плоскость в стандартном виде и выделяют A, B, C, D, затем подставляют координаты точки в числитель. После этого берут модуль полученного числа и делят его на √(A² + B² + C²), не забывая упростить результат.

Расстояние от точки до плоскости в координатах

Сначала найдите в таблице уравнение плоскости и выпишите коэффициенты при координатах. Затем используйте координаты точки в числителе, а сами коэффициенты — для вычисления знаменателя. Последняя строка помогает проверить, почему в формуле нельзя убрать модуль или заменить корень суммой коэффициентов.

Разбор задач

Задача 1. Найти расстояние от точки P(1, −1, 2) до плоскости 2x − y + 2z − 9 = 0. Коэффициенты равны A = 2, B = −1, C = 2, D = −9, поэтому нормальный вектор имеет вид (2, −1, 2). Подставим координаты точки в общую формулу.

1. Вычисляем числитель: |2 · 1 − (−1) + 2 · 2 − 9| = |−2| = 2.
2. Находим длину нормального вектора: √(2² + (−1)² + 2²) = √9 = 3.
3. Делим: d = 2 / 3.

Ответ: 2/3.

Задача 2. Найти расстояние от P(2, 1, 1) до плоскости x + 2y − 2z + 3 = 0. Здесь нормальный вектор равен (1, 2, −2), а знаки перед координатами нужно сохранить при подстановке. Сначала найдём значение левой части в точке, затем длину нормали.

1. Числитель: |2 + 2 · 1 − 2 · 1 + 3| = |5| = 5.
2. Знаменатель: √(1² + 2² + (−2)²) = √9 = 3.
3. Следовательно, d = 5 / 3.

Ответ: 5/3.

Задача 3. Точки A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) задают плоскость. Найдём её уравнение, а затем расстояние до P(2, 2, 2). Каждая из трёх точек имеет сумму координат, равную 1, поэтому плоскость задаётся уравнением x + y + z − 1 = 0.

1. Для этой плоскости нормальный вектор: (1, 1, 1).
2. Подставляем P: |2 + 2 + 2 − 1| = 5.
3. Длина нормали равна √(1² + 1² + 1²) = √3, поэтому d = 5/√3 = 5√3/3.

Ответ: 5√3/3.

Типичные ошибки

Не брать модуль выражения Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D — ошибка, потому что левая часть может оказаться отрицательной. Такое значение показывает знак расположения относительно выбранной стороны плоскости, а не отрицательное расстояние. Проверьте себя: перед делением поставьте вертикальные черты и убедитесь, что итог не меньше нуля.

Иногда в знаменателе пишут A + B + C вместо √(A² + B² + C²). Так происходит из-за невнимательности к формуле длины вектора. Сверьте знаменатель с длиной (A, B, C): каждый коэффициент должен быть возведён в квадрат.

Неверная подстановка координат меняет числитель и даёт расстояние до другой точки. Особенно часто путают знаки отрицательных координат или переставляют x₀, y₀ и z₀. Проверяйте подстановку по отдельным слагаемым: A · x₀, B · y₀, C · z₀.

Нельзя использовать коэффициенты, если уравнение не приведено к виду Ax + By + Cz + D = 0. Например, запись с выражением в другой части сначала нужно преобразовать переносом всех слагаемых влево. После этого проверьте, что свободный член тоже учтён в числителе.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны координаты точки и вектора в пространстве, формула длины вектора и условие перпендикулярности. Эти знания объясняют и сам вид нормального вектора, и знаменатель формулы расстояния. Без них вычисление превращается в запоминание без понимания.

Умение читать уравнение плоскости помогает быстро находить её нормальный вектор. Оно также нужно при проверке принадлежности точки плоскости: достаточно подставить координаты и получить ноль. Поэтому расстояние связано с изучением уравнений поверхностей.

Формула применяется в стереометрии при исследовании взаимного расположения точек и плоскостей. С её помощью находят расстояния в координатных задачах и проверяют, лежит ли точка на плоскости. Позже аналогичный подход используется для других геометрических объектов.

Что запомнить

• Расстояние от точки до плоскости измеряется по перпендикуляру.
• Для плоскости Ax + By + Cz + D = 0 нормальный вектор — (A, B, C).
• Расстояние всегда неотрицательно, поэтому числитель формулы берут по модулю.
• Знаменатель формулы — длина нормального вектора: √(A² + B² + C²).
• Координаты точки подставляют вместо x, y, z в уравнение плоскости.
• Умножение всех коэффициентов уравнения плоскости на одно и то же ненулевое число не меняет расстояние.