53. Уравнение плоскости

Определения и обозначения

Уравнение плоскости — уравнение с координатами x, y, z, которому удовлетворяют координаты всех точек плоскости и только они. Например, если координаты точки превращают левую часть уравнения в нуль, эта точка лежит на плоскости. Уравнение удобно тем, что позволяет описывать бесконечное множество точек одной записью и проверять, принадлежит ли ему конкретная точка.

Нормальный вектор плоскости — ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости. Его координаты обозначают, например, n = (A, B, C). Такой вектор нужен, чтобы задать направление плоскости и записать её уравнение.

Если известны точка M₀(x₀, y₀, z₀), лежащая в плоскости, и её нормальный вектор n = (A, B, C), уравнение имеет вид A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0. Координаты точки показывают, через какую точку проходит плоскость, а координаты вектора задают её направление. Эта запись позволяет составить уравнение, не отыскивая другие точки плоскости.

Общее уравнение плоскости записывается так: Ax + By + Cz + D = 0. Числа A, B и C не могут быть одновременно равны нулю, иначе уравнение не будет задавать плоскость. В этой записи A, B и C являются координатами нормального вектора, а D — свободным членом.

Как это устроено

Плоскость можно задать точкой M₀ и перпендикулярным ей ненулевым вектором n. Точка закрепляет положение плоскости, а вектор — её ориентацию в пространстве. Если взять любую другую точку M той же плоскости, вектор M₀M будет лежать в плоскости, а значит, окажется перпендикулярным нормальному вектору. Поэтому для определения плоскости достаточно знать точку и нормаль.

Запишем координаты вектора M₀M: это (x − x₀, y − y₀, z − z₀). Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Для n = (A, B, C) это условие принимает вид A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0. Так получается уравнение: ему удовлетворяют координаты каждой точки плоскости, поскольку соответствующий вектор M₀M перпендикулярен n.

Раскроем скобки в уравнении через точку: Ax − Ax₀ + By − By₀ + Cz − Cz₀ = 0. Сгруппируем слагаемые с переменными и перенесём остальные: Ax + By + Cz − Ax₀ − By₀ − Cz₀ = 0. Если обозначить D = −Ax₀ − By₀ − Cz₀, получим общий вид Ax + By + Cz + D = 0. Значит, уравнения через точку и общее уравнение описывают одну и ту же зависимость.

Коэффициенты A, B, C стоят при координатах x, y, z именно потому, что это компоненты нормального вектора в скалярном произведении. Поэтому по общему уравнению можно сразу определить нормаль n = (A, B, C). Свободный член D не задаёт направление, но меняет положение плоскости: при той же нормали разные значения D могут соответствовать параллельным плоскостям.

Чтобы проверить принадлежность точки, подставляют её координаты в уравнение вместо x, y и z. Если левая часть стала равна нулю, координаты удовлетворяют уравнению и точка лежит на плоскости. Если получилось число, отличное от нуля, точка плоскости не принадлежит. Это следует из того, что уравнение выполняется только для точек данной плоскости.

Уравнение плоскости: запись и её смысл

Сначала определите, какие данные известны: точка с нормальным вектором или уже готовое общее уравнение. Затем выберите соответствующую запись и сопоставьте её элементы с тем, что требуется найти. Для проверки точки достаточно подставить все три координаты и вычислить левую часть.

Разбор задач

Задача 1. Плоскость задана уравнением 2x − y + 3z − 6 = 0. Укажите координаты её нормального вектора и проверьте, принадлежит ли ей точка A(1, 2, 2). Сначала используем коэффициенты уравнения, затем отдельно проверим координаты точки.

1. Сравниваем запись с общим видом Ax + By + Cz + D = 0. Коэффициенты при x, y, z равны 2, −1 и 3.
2. Следовательно, нормальный вектор можно взять n = (2, −1, 3). Подставляем координаты A: 2 · 1 − 2 + 3 · 2 − 6 = 0.
3. Левая часть равна нулю, значит, координаты точки удовлетворяют уравнению. Точка A принадлежит плоскости.

Ответ: n = (2, −1, 3); точка A лежит на плоскости.

Задача 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через M₀(1, −2, 3) и имеющей нормальный вектор n = (2, 1, −1). Для этого используем точечную форму: компоненты нормали станут коэффициентами, а координаты M₀ зададут скобки. Проверка подстановкой координат M₀ должна дать нуль.

1. Записываем формулу A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0. Здесь A = 2, B = 1, C = −1, а x₀ = 1, y₀ = −2, z₀ = 3.
2. Подставляем данные: 2(x − 1) + (y + 2) − (z − 3) = 0. Знак перед скобкой z − 3 отрицательный, потому что третья координата нормального вектора равна −1.
3. Раскрываем скобки и приводим подобные: 2x − 2 + y + 2 − z + 3 = 0, откуда 2x + y − z + 3 = 0.

Ответ: 2x + y − z + 3 = 0.

Задача 3. Составьте уравнение плоскости через A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) и C(0, 0, 1). Три точки задают плоскость, если не лежат на одной прямой. Найдём два направленных вектора плоскости и перпендикулярный им вектор.

1. Строим векторы AB = (−1, 1, 0) и AC = (−1, 0, 1). Они не пропорциональны, поэтому неколлинеарны и задают направления внутри плоскости.
2. Ищем вектор n = (A, B, C), перпендикулярный обоим. Из условий скалярного произведения получаем −A + B = 0 и −A + C = 0, поэтому можно взять n = (1, 1, 1).
3. Используем точку A(1, 0, 0): (x − 1) + y + z = 0. После раскрытия скобок получаем x + y + z − 1 = 0.

Ответ: x + y + z − 1 = 0.

Типичные ошибки

Иногда в качестве коэффициентов при x, y, z берут три нуля и считают полученную запись уравнением плоскости. Тогда нормальный вектор оказывается нулевым, а он не может быть перпендикулярным плоскости как задающий её ненулевой вектор. Проверьте, что хотя бы одно из чисел A, B, C отлично от нуля.

Другая ошибка — путать координаты заданной точки с координатами нормального вектора. Координаты точки входят в скобки как вычитаемые числа, а координаты вектора становятся множителями перед скобками. Чтобы проверить запись, обозначьте точку индексом 0, а вектор буквой n и подставьте каждый набор строго на своё место.

При переходе к общему виду часто неверно находят свободный член. Из A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0 следует D = −Ax₀ − By₀ − Cz₀, потому что все постоянные слагаемые переходят в левую часть со знаком минус. Самопроверка: подставьте координаты исходной точки в полученное уравнение — должно получиться ноль.

При проверке принадлежности точки можно забыть одну координату или просто получить числовой результат и не сравнить его с нулём. Уравнение требует подставить значения вместо всех трёх переменных и проверить равенство нулю. Запишите вычисление полностью, а затем сформулируйте вывод: точка принадлежит плоскости или нет.

Связь с другими темами

Для вывода уравнения плоскости нужны координаты точки и вектора в пространстве, а также скалярное произведение. Условие перпендикулярности векторов — нулевое скалярное произведение — превращает геометрическое свойство плоскости в алгебраическое уравнение. Поэтому полезно уметь находить координаты вектора по координатам его начала и конца.

Уравнение плоскости применяют в задачах о взаимном расположении прямых и плоскостей, точках их пересечения и расстояниях. Оно позволяет проверять, лежит ли точка на плоскости, и находить координаты точек пересечения через систему уравнений. Эти умения развивают способы решения задач стереометрии с помощью координат.

Что запомнить

• Нормальный вектор плоскости перпендикулярен ей.
• Координаты нормального вектора входят в уравнение как коэффициенты при x, y и z.
• Уравнение плоскости через точку M₀ и нормальный вектор n записывается как n · (r − r₀) = 0.
• Общий вид уравнения плоскости: Ax + By + Cz + D = 0.
• Коэффициенты A, B, C не могут быть одновременно нулевыми.
• Точка принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда её координаты обращают уравнение в верное равенство.