§ 3. Движения

Определения и обозначения

Движение плоскости — взаимно однозначное отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. Иными словами, каждой точке соответствует ровно одна точка, и разные точки не сливаются. Это понятие нужно, чтобы описывать преобразования, при которых фигуры не растягиваются и не искажаются.

Центральная симметрия с центром O — отображение, при котором точка A переходит в A′ так, что O является серединой отрезка AA′. Значит, точки A, O и A′ лежат на одной прямой, а OA = OA′. Определение помогает построить образ точки по центру симметрии.

Осевая симметрия относительно прямой l — отображение, при котором прямая l является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точку и её образ. Поэтому отрезок AA′ перпендикулярен l, а его середина лежит на l. Такая симметрия позволяет отражать фигуры относительно заданной оси.

Параллельный перенос на вектор a — отображение, при котором каждая точка A переходит в A′ так, что AA′ = a. Все точки перемещаются в одном направлении, на одинаковое расстояние и с одинаковой ориентацией. Это определение удобно для построения образа фигуры по одному заданному вектору.

Как это устроено

Сохранение расстояний означает, что для любых точек A и B расстояние между их образами A′ и B′ равно AB. Поэтому отрезок переходит в отрезок той же длины: его концы получают образы, а все промежуточные точки сохраняют свои взаимные расстояния. Из той же причины не меняются углы и форма фигур, хотя фигура может переместиться или оказаться зеркально отражённой.

Движение взаимно однозначно, потому что разные точки не могут перейти в одну. Если A и B были различными, то AB > 0, а при совпадении образов получилось бы A′B′ = 0, что противоречит сохранению расстояний. Обратное соответствие также однозначно: по образу нельзя получить две разные исходные точки, иначе нарушилось бы то же свойство расстояний.

При центральной симметрии точка O остаётся на месте: она является серединой отрезка, соединяющего саму себя с образом. Любая другая точка A и её образ A′ находятся на одной прямой по разные стороны от O, причём OA = OA′. Поэтому достаточно провести прямую AO и отложить за O отрезок такой же длины.

При осевой симметрии точки, лежащие на оси l, остаются неподвижными, поскольку для них образ совпадает с исходной точкой. Для точки вне оси отрезок AA′ направлен перпендикулярно l, а ось делит его пополам. Именно одинаковое расстояние от точек до оси объясняет, почему отражённые фигуры сохраняют все длины.

При параллельном переносе один и тот же вектор прибавляется к положению каждой точки. Если A переходит в A′, а B — в B′, то AA′ и BB′ равны и параллельны, поэтому четырёхугольник ABB′A′ является параллелограммом. Из свойств параллелограмма следует A′B′ = AB, а значит, сохраняются расстояния и фигуры переходят в равные фигуры.

Основные движения плоскости

Таблица помогает выбрать способ построения по виду заданного движения. Сначала найдите элемент, который задаёт преобразование: центр, ось, вектор или центр с углом. Затем постройте образы характерных точек и проверьте сохранение расстояний.

Разбор задач

Центральная симметрия

Условие. Точка A′ симметрична точке A относительно O. Постройте A′ и укажите, какие отрезки равны.

1. Проведите прямую AO.
2. Продлите её за точку O, то есть выберите сторону, противоположную A.
3. Отложите на продолжении отрезок OA′, равный OA.
4. Поскольку O должна быть серединой AA′, полученная точка и есть A′.

Ответ. Точки A, O и A′ лежат на одной прямой, OA = OA′, а отрезки AO и OA′ равны. Кроме того, O делит AA′ пополам.

Осевая симметрия треугольника

Условие. Постройте образ треугольника ABC при симметрии относительно прямой l и докажите, что полученный треугольник равен исходному.

1. Из вершин A, B и C проведите перпендикуляры к прямой l.
2. На продолжении каждого перпендикуляра по другую сторону оси отметьте точки A′, B′ и C′ на тех же расстояниях от l.
3. Соедините A′, B′ и C′ отрезками в соответствующем порядке.
4. Для каждой пары вершин ось l является серединным перпендикуляром, поэтому отражение сохраняет расстояния между точками.

Ответ. Образом является треугольник A′B′C′. Имеем A′B′ = AB, B′C′ = BC и C′A′ = CA, поэтому треугольники ABC и A′B′C′ равны по трём сторонам.

Параллельный перенос

Условие. При параллельном переносе точка A переходит в A′, а точка B — в B′. Найдите образ треугольника ABC и докажите, что он равен исходному.

1. Определите вектор переноса: a = AA′. По условию также a = BB′.
2. Из вершины C отложите такой же вектор и получите точку C′, то есть CC′ = a.
3. Соедините A′, B′ и C′. Это и есть образ треугольника ABC.
4. Одинаковый перенос сохраняет расстояния: A′B′ = AB, B′C′ = BC и C′A′ = CA.

Ответ. Образ треугольника ABC — треугольник A′B′C′. Соответствующие стороны равны, поэтому треугольники ABC и A′B′C′ равны.

Типичные ошибки

Сохранять только длины отдельных сторон. Иногда проверяют лишь стороны конкретного многоугольника и называют это движением. Но движение обязано сохранять расстояния между любыми парами точек, а не только выбранными вершинами. Проверьте, что правило действует для произвольных точек.

Ставить образ на той же стороне от центра. Так делают, забывая, что при центральной симметрии O — середина AA′. Проверьте, лежат ли A, O и A′ на одной прямой и равны ли OA и OA′; точки A и A′ должны быть по разные стороны от O.

Проводить отрезок к образу не перпендикулярно оси. Ошибка возникает, когда ось воспринимают просто как линию отражения. Для проверки опустите перпендикуляр из исходной точки на l и убедитесь, что ось проходит через середину AA′.

Смещать точки разными векторами. При таком построении форма фигуры может измениться, поскольку перенос задаётся одним вектором для всей плоскости. Сравните все отрезки от исходных точек к образам: они должны быть равны, параллельны и одинаково направлены.

Связь с другими темами

До изучения движений нужны умения находить расстояние между точками, середину отрезка и строить перпендикуляр. Движения связаны с равенством фигур и помогают доказывать равенство треугольников через сохранение соответствующих сторон и углов. Симметрии и параллельные переносы используются при изучении преобразований плоскости, построениях и решении задач на свойства геометрических фигур.

Что запомнить

• Движение сохраняет расстояния между любыми двумя точками.
• При движении фигура переходит в равную ей фигуру.
• При центральной симметрии центр является серединой отрезка, соединяющего точку с её образом.
• Ось симметрии — серединный перпендикуляр к отрезку между точкой и её образом.
• При параллельном переносе все точки смещаются на один и тот же вектор.
• Образ фигуры при движении можно построить, найдя образы её точек.