54. Центральная симметрия

Определения и обозначения

Центральная симметрия относительно точки O — преобразование, при котором точка A переходит в точку A′ так, что O является серединой отрезка AA′. Иначе говоря, A, O и A′ лежат на одной прямой, а OA = OA′. Это определение задаёт точное правило построения и помогает отличить центральную симметрию от других преобразований.

Точки A и A′ называют симметричными относительно центра O, если O — середина AA′. При этом сама точка O переходит в себя: расстояние от неё до центра равно нулю, и другого положения у неё нет. Это полезно учитывать, когда проверяют симметрию фигуры целиком.

Центром симметрии фигуры называют точку, относительно которой центральная симметрия переводит фигуру в себя. Для этого каждой точке фигуры должна соответствовать симметричная ей точка той же фигуры. Определение позволяет проверять симметричность, не полагаясь только на внешний вид рисунка.

Образ фигуры — множество точек, в которое переходит исходная фигура при преобразовании. Например, образ отрезка состоит из образов всех его точек и сам является отрезком. Это понятие нужно, чтобы описывать результат преобразования не только для отдельной точки, но и для всей геометрической фигуры.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки A относительно O, проведи прямую AO и продолжи её за центр. На продолжении отложи отрезок OA′, равный OA. Такая конструкция следует из определения: точки должны лежать на одной прямой, а O — делить AA′ пополам. Если A совпадает с O, то её образ тоже O.

Центральная симметрия сохраняет расстояния между точками. Представь, что каждой точке прибавляют один и тот же вектор: от A к A′ и от B к B′ он направлен одинаково и имеет одинаковую длину. Поэтому соединяющий точки отрезок лишь переносится и не меняет длины; следовательно, сохраняются и углы между отрезками. Фигура меняет положение, но не размеры и форму.

Прямая, проходящая через центр, переходит в себя, потому что каждая её точка после преобразования остаётся на той же прямой. Если прямая через центр не проходит, все её точки смещаются на один и тот же вектор, поэтому образом становится параллельная прямая. По той же причине плоскость переходит в параллельную ей плоскость; если центр лежит в исходной плоскости, она переходит в себя.

После первого преобразования точка оказывается по другую сторону O на прежнем расстоянии от него. При втором преобразовании это расстояние откладывается в обратном направлении, и точка возвращается на исходное место. Значит, два последовательных применения симметрии относительно одного центра возвращают всю фигуру, потому что это верно для каждой её точки.

Чтобы проверить, является ли O центром симметрии фигуры, возьми произвольную точку фигуры и построй её симметричную точку относительно O. Она тоже должна принадлежать фигуре; это условие должно выполняться для каждой точки. Если найдётся хотя бы одна точка, образ которой лежит вне фигуры, предполагаемый центр не подходит. На чертеже полезно проверять не только отдельные заметные точки, но и точки сторон и границ.

Образы простейших фигур при центральной симметрии

В таблице сравниваются положения исходной фигуры и центра. Для отрезка одного условия «центр принадлежит» недостаточно, чтобы заключить, что образ совпадёт с ним: важны также положение центра и длина отрезка. В задачах об отрезке надёжнее построить образы обоих концов.

Разбор задач

Построить точку A′, симметричную точке A относительно точки O

Требуется получить такую точку, чтобы центр стал серединой отрезка между исходной точкой и образом. Поэтому сначала нужно найти прямую, на которой могут лежать обе точки и центр, а затем отложить равное расстояние по другую сторону O. Если точка A совпадает с центром, отдельного отрезка строить не нужно.

1. Проведи прямую через A и O.
2. Продолжи луч AO за точку O.
3. Измерь расстояние OA и отложи на продолжении отрезок OA′ той же длины.
4. Проверь, что O лежит между A и A′ и OA = OA′.

Проверка подтверждает, что O — середина AA′, значит, построение соответствует определению. Ответ: точка A′, построенная на продолжении AO за O так, что OA′ = OA.

Найти образ отрезка AB, если известны образы его концов

Образ отрезка нужно искать целиком, а не только отмечать новое положение его концов. При центральной симметрии точки отрезка переходят в точки между образами его концов, поэтому достаточно соединить построенные образы A′ и B′. Такой ход использует сохранение прямолинейности и расстояний.

1. Обозначь образы концов исходного отрезка как A′ и B′.
2. Проведи отрезок A′B′.
3. Убедись, что его концы соответствуют A и B; длина сохраняется: A′B′ = AB.

Промежуточные точки AB переходят в соответствующие точки A′B′, поэтому образ включает весь отрезок, а не только концы. Ответ: образом AB является отрезок A′B′.

Доказать, что точка O — центр симметрии параллелограмма

Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Чтобы доказать, что O — центр симметрии, достаточно показать, что при симметрии относительно O вершины попарно переходят друг в друга. Свойство диагоналей даёт именно нужное условие: каждая диагональ делится точкой пересечения пополам.

1. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O и делятся ею пополам.
2. Поэтому O — середина AC, а значит, A и C симметричны относительно O.
3. По той же причине O — середина BD, поэтому B и D симметричны относительно O.
4. Центральная симметрия переводит стороны параллелограмма в противоположные стороны, следовательно, весь параллелограмм переходит в себя.

Мы проверили соответствие вершин и сторон, то есть всей фигуры, а не только одной пары точек. Ответ: точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что расстояние от точки до центра меняется. При центральной симметрии сохраняется OA = OA′, просто точка оказывается с другой стороны O; ошибку можно проверить измерением обоих отрезков. Не следует откладывать образ в произвольном направлении: A, O и A′ должны лежать на одной прямой. Проведи прямую через исходную точку и центр до того, как отмечать образ.

Центральную симметрию путают с осевой, потому что в обоих случаях говорят об отражении. Но здесь точка O — центр, а не прямая-ось: именно O должен быть серединой отрезка между точкой и образом. Наконец, внешнего сходства фигуры недостаточно, чтобы объявить точку её центром симметрии. Проверь, что образ каждой точки фигуры также принадлежит фигуре; достаточно найти одну точку, образ которой не подходит, чтобы опровергнуть предположение.

Связь с другими темами

Для центральной симметрии понадобятся понятие середины отрезка, свойства параллельных прямых и плоскостей, а также представление о преобразовании фигуры. Без этих знаний трудно проверить условие «O — середина» или описать образ прямой и плоскости. В свою очередь, симметрия помогает изучать преобразования пространства и свойства многогранников. Её используют и в доказательствах равенства геометрических фигур, поскольку расстояния и углы при таком преобразовании сохраняются.

Что запомнить

• При центральной симметрии центр — середина отрезка, соединяющего точку и её образ.
• Центр симметрии переходит в себя.
• Центральная симметрия сохраняет расстояния и углы.
• Прямая через центр переходит в себя, остальные прямые — в параллельные им.
• Плоскость переходит в себя или в параллельную ей плоскость.
• Два последовательных применения симметрии относительно одного центра возвращают фигуру в исходное положение.