8.4. Центральная симметрия

Определения и обозначения

Центральная симметрия с центром O — преобразование, при котором точка A переходит в точку A′ так, что O является серединой отрезка AA′. Значит, точки A, O и A′ лежат на одной прямой, а OA = OA′. Это определение задаёт точное правило построения образа любой точки.

Точки A и A′ называют симметричными относительно центра O, если O — середина AA′. При этом сам центр O симметричен самому себе, потому что расстояние от него до себя равно нулю. Такое свойство нужно учитывать при построении образов точек, лежащих в центре.

Центрально-симметричной называют фигуру, которая при центральной симметрии переходит в себя. Иными словами, образ каждой точки фигуры снова находится на этой же фигуре. Это позволяет распознавать симметрию не по одной паре точек, а по всем точкам фигуры.

Центр симметрии фигуры — точка, относительно которой фигура переходит в себя при центральной симметрии. Для такого центра все соответствующие точки фигуры соединяются отрезками, которые он делит пополам. Поэтому одного совпадения для пары точек недостаточно: условие должно выполняться для всей фигуры.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки A относительно O, сначала проводят прямую AO. Затем за центром O, с противоположной стороны от A, откладывают отрезок OA′, равный OA. Центр оказывается между A и A′, поэтому построенная точка удовлетворяет определению симметрии.

Образ точки единственный: прямая через A и O уже определена, направление от O должно быть противоположным, а расстояние OA′ обязано равняться OA. Проверка проста: точки A, O и A′ должны лежать на одной прямой, а O — делить AA′ пополам. Если хотя бы одно условие нарушено, построение неверно.

Центральная симметрия равносильна повороту на 180° вокруг центра O. При таком повороте каждая точка оказывается на той же прямой через O, но по другую сторону и на том же расстоянии. Поворот сохраняет расстояния между точками, поэтому сохраняются длины отрезков и величины углов.

Отрезок при симметрии переходит в равный ему отрезок, причём эти отрезки параллельны или лежат на одной прямой. Прямая обычно переходит в параллельную прямую, а если проходит через O — в себя: все её точки остаются на той же прямой. Окружность переходит в равную окружность, поскольку её центр и каждая точка перемещаются на одинаково определённые расстояния.

Чтобы проверить центральную симметричность фигуры, выбирают один предполагаемый центр и рассматривают любую её точку. Если симметричный образ каждой точки снова принадлежит фигуре, фигура центрально-симметрична. У параллелограмма таким центром служит точка пересечения диагоналей: она делит обе диагонали пополам, поэтому меняет местами противоположные вершины.

Образы фигур при центральной симметрии

Таблица помогает быстро определить образ объекта и его основные свойства. Для сложной фигуры сначала находят образы характерных точек, а затем соединяют их в том же порядке. Отдельно проверяют, не проходит ли прямая через центр и является ли фигура симметричной относительно выбранной точки.

Разбор задач

Задача 1. Построение образа точки

Условие. Постройте точку A′, симметричную точке A относительно заданной точки O. Нужно получить точку, для которой O будет серединой соединяющего отрезка.

1. Проведите прямую через A и O.
2. Продолжите её за точку O в сторону, противоположную A.
3. Отложите на продолжении отрезок OA′, равный OA.
4. Проверьте, что O лежит между A и A′ и делит AA′ пополам.

Ответ. Построенная точка A′ является образом A. Если A совпадает с O, отдельное построение не требуется: A′ = O.

Задача 2. Образ треугольника

Условие. Постройте образ треугольника ABC относительно точки O и определите, чему равны стороны образа. Обозначим образы вершин через A′, B′ и C′.

1. Постройте A′, B′ и C′ по правилу центральной симметрии: O — середина AA′, BB′ и CC′.
2. Соедините точки A′, B′ и C′ отрезками в том же порядке.
3. Сравните соответствующие стороны: A′B′ с AB, B′C′ с BC, C′A′ с CA.

Ответ. Получится треугольник A′B′C′. Поскольку центральная симметрия сохраняет расстояния, A′B′ = AB, B′C′ = BC и C′A′ = CA, поэтому образ равен исходному треугольнику.

Задача 3. Центр симметрии параллелограмма

Условие. Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии. Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

1. Используйте свойство параллелограмма: диагонали делятся точкой пересечения пополам.
2. Получите OA = OC и OB = OD, причём пары точек A, O, C и B, O, D лежат на одной прямой.
3. Следовательно, при симметрии с центром O вершина A переходит в C, а B — в D.
4. Все вершины переходят в вершины параллелограмма, значит, его стороны и вся фигура переходят в себя.

Ответ. Точка O — центр симметрии параллелограмма. Доказательство основано на том, что она является серединой обеих диагоналей.

Типичные ошибки

Образ точки иногда откладывают на той же стороне от центра, что и исходную точку. Так происходит, если ученик учитывает только равенство расстояний, но забывает о противоположном направлении. Проверьте, что центр лежит между точкой и её образом.

Другая ошибка — считать достаточным равенство OA и OA′. Точки могут находиться на одинаковом расстоянии от O, но не лежать на одной прямой, поэтому O не будет серединой AA′. Всегда проверяйте и длины, и коллинеарность трёх точек.

Нельзя называть центр симметрии серединой любой одной пары точек фигуры. Для настоящего центра он должен быть серединой отрезков, соединяющих все соответствующие пары точек. Проверьте несколько характерных точек, а для фигуры в целом — всё правило перехода.

Некоторые думают, что симметрия меняет положение фигуры и может изменить её размеры или углы. Это неверно, потому что центральная симметрия является поворотом на 180° и сохраняет расстояния. Сравните соответствующие стороны и углы исходной фигуры и её образа.

Связь с другими темами

Для изучения центральной симметрии нужны навыки построения середины отрезка, работы с прямыми и отрезками, а также свойства параллелограмма. Эти знания позволяют строить образы точек и доказывать, что диагонали параллелограмма задают его центр симметрии.

Центральная симметрия связана с движениями плоскости: она является поворотом на 180°. Её свойства помогают исследовать геометрические фигуры, находить равные элементы и доказывать утверждения без измерений.

Что запомнить

• При центральной симметрии центр — середина отрезка, соединяющего точку и её образ.
• Центр симметрии переходит сам в себя.
• Центральная симметрия равносильна повороту на 180° вокруг центра.
• Центральная симметрия сохраняет длины и углы.
• У параллелограмма центр симметрии — точка пересечения диагоналей.
• Фигура центрально-симметрична, если при симметрии относительно одного центра переходит в себя.