8.5. Осевая симметрия на плоскости

Определения и обозначения

Осевая симметрия — преобразование плоскости, при котором каждая точка переходит в точку, симметричную ей относительно заданной прямой. Такую прямую обозначают, например, l. Это правило позволяет каждому объекту построить его зеркальный образ.

Ось симметрии — прямая, относительно которой выполняется отражение точек и фигур. Она разделяет плоскость на две зеркально связанные части. По оси удобно проверять, является ли фигура симметричной.

Симметричные точки лежат по разные стороны от оси на одном перпендикуляре к ней и находятся на одинаковом расстоянии от оси. Если точкам A и A' соответствует ось l, то l перпендикулярна AA' и проходит через середину этого отрезка. Это условие однозначно задаёт положение точки A'.

Симметричная фигура — фигура, которая при отражении относительно некоторой прямой совмещается сама с собой. Такая прямая называется её осью симметрии. Например, у равнобедренного треугольника осью служит прямая, проходящая через вершину и середину основания.

Как это устроено

Чтобы построить точку A', симметричную точке A относительно прямой l, сначала через A проводят перпендикуляр к l. Его пересечение с осью обозначим H. Затем на продолжении этого перпендикуляра за ось откладывают отрезок HA', равный HA. Так точка A' оказывается на другой стороне оси и получает то же расстояние до неё.

Ось является серединным перпендикуляром к отрезку AA', потому что точки A и A' равноудалены от оси, а отрезок между ними направлен перпендикулярно оси. Точка пересечения H делит AA' на две равные части: HA = HA'. Обратно, любая точка на серединном перпендикуляре к AA' равноудалена от A и A', поэтому такая прямая и является осью отражения.

Точка, лежащая на оси, при отражении остаётся на месте. Для неё расстояние до оси равно нулю, и откладывать такой же отрезок в противоположную сторону невозможно: образ совпадает с исходной точкой. Поэтому ось состоит из неподвижных точек преобразования.

Расстояния сохраняются, потому что отражение заменяет каждую точку её зеркальной копией, не изменяя расстояние до оси. Если отразить обе точки отрезка, то расстояние между их образами будет таким же, как исходное. Из сохранения расстояний следуют сохранение длин, углов, параллельности и перпендикулярности: равные отрезки и направления переходят в равные отрезки и соответствующие направления.

Образ отрезка строят по образам его концов и соединяют их. Для луча отражают его начало и ещё одну точку, задающую направление; через образы проводят луч. Для угла строят образы вершины и его сторон, для многоугольника — образы всех вершин и соединяют их по порядку, а для окружности отражают центр и сохраняют радиус.

Свойства осевой симметрии

Таблица помогает быстро определить, какой объект получится после отражения и какие его свойства можно использовать в доказательстве. При решении задачи сначала находят образы точек, а затем применяют сохранение длины, угла или взаимного положения прямых.

Разбор задач

Построение симметричной точки

Условие. Построить точку A', симметричную точке A относительно прямой l. Требуется использовать только построение перпендикуляра и равного отрезка. Результат нужно проверить по определению симметричных точек.

1. Через точку A проводят прямую, перпендикулярную l, и обозначают её пересечение с осью буквой H.
2. На продолжении прямой за l откладывают отрезок HA', равный HA.
3. Проверяют: AA' перпендикулярна l, а H — середина AA', значит, точки A и A' симметричны относительно l.

Ответ: точка A' построена как отражение точки A относительно прямой l.

Образ треугольника

Условие. Построить образ треугольника ABC при симметрии относительно l и доказать равенство треугольников. Нужно отразить все вершины, а не только одну из них. После построения сравнивают соответствующие стороны.

1. Для вершин A, B и C проводят перпендикуляры к l и строят точки A', B' и C' на равных расстояниях по другую сторону оси.
2. Соединяют A'B', B'C' и C'A' в том же порядке, получая треугольник A'B'C'.
3. Осевая симметрия сохраняет расстояния, поэтому A'B' = AB, B'C' = BC и C'A' = CA. Следовательно, треугольники ABC и A'B'C' равны по трём сторонам.

Ответ: образ — треугольник A'B'C', равный исходному треугольнику.

Оси симметрии фигур

Условие. Найти оси симметрии ромба, равнобедренной трапеции и окружности. Ось нужно обосновать не внешним видом, а свойством отражения. Проверяем, переходят ли все точки фигуры в точки той же фигуры.

1. У ромба диагонали являются осями симметрии: каждая диагональ делит его на две части, зеркально соответствующие друг другу.
2. У равнобедренной трапеции осью служит перпендикуляр к основаниям, проходящий через их середины; он меняет местами равные боковые стороны.
3. У окружности осью может быть любая прямая, проходящая через её центр: центр остаётся на месте, а точки окружности переходят в точки с тем же радиусом.

Ответ: ромб имеет две оси симметрии, равнобедренная трапеция — одну, окружность — бесконечно много осей.

Типичные ошибки

Иногда отрезок к оси проводят под произвольным углом. Это происходит, если ученик ориентируется только на расстояние «на глаз» и забывает условие перпендикулярности. Проверьте, что отрезок между точкой и её образом образует с осью прямой угол.

Другая ошибка — откладывать разные расстояния от точки и её образа до оси. Тогда ось не будет серединным перпендикуляром к соединяющему их отрезку. Измерьте оба отрезка от оси до точек и убедитесь, что они равны.

Нельзя считать осью любую прямую, проходящую через фигуру. Прямая является осью только тогда, когда отражение совмещает две части фигуры и переводит каждую её точку в точку этой же фигуры. Мысленно отразите несколько характерных точек или проверьте соответствие вершин и сторон.

При построении образа фигуры иногда отражают отдельные вершины, но не соединяют их в правильном порядке. В результате получается незавершённая или другая фигура. После построения образов всех определяющих точек соедините их так же, как были соединены исходные точки.

Связь с другими темами

Для осевой симметрии нужны знания о перпендикуляре, середине отрезка и серединном перпендикуляре. Также используются равенство фигур и свойства углов, потому что отражение сохраняет длины и угловые величины.

Осевая симметрия продолжает тему геометрических преобразований. По идее соответствия точек она близка к центральной симметрии, но там отражение выполняется относительно точки, а здесь — относительно прямой.

Эти знания пригодятся при исследовании многоугольников и окружностей, а также графиков функций. Симметрия помогает находить оси фигур и замечать закономерности на координатной плоскости.

Что запомнить

• Осевая симметрия является отражением относительно прямой.
• Ось симметрии — серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему симметричные точки.
• Каждая точка оси при симметрии остаётся на месте.
• Симметрия сохраняет расстояния, длины, углы и форму фигур.
• Чтобы построить образ фигуры, достаточно построить образы всех её определяющих точек.
• Фигура имеет ось симметрии, если отражение относительно этой оси совмещает фигуру саму с собой.