8.6. Зеркальная симметрия

Определения и обозначения

Фигура обладает зеркальной симметрией относительно прямой, если при отражении относительно этой прямой она переходит в себя, то есть совпадает со своим образом. Например, у симметричной фигуры точки по одну сторону от прямой имеют соответствующие точки по другую. Это определение помогает установить, действительно ли прямая делит фигуру на зеркально соответствующие части.

Ось симметрии фигуры — прямая, относительно которой фигура обладает зеркальной симметрией. После отражения каждая точка фигуры либо остаётся на месте, либо переходит в точку той же фигуры. Ось нужна, чтобы описывать и находить симметрию, а также строить недостающую часть изображения по уже известной.

Две точки называют симметричными относительно прямой, если они расположены по разные стороны от неё на равных расстояниях, а соединяющий их отрезок перпендикулярен этой прямой. Если точка находится на прямой, её симметричная точка совпадает с ней. По этим условиям можно проверить построение отражённой точки.

Отражение относительно прямой — преобразование, которое каждой точке ставит в соответствие симметричную ей точку; точки на прямой остаются на месте. Так получают зеркальное изображение любой фигуры: отражают все её точки. Это преобразование позволяет сравнивать фигуру с образом и проверять наличие оси симметрии.

Как это устроено

Чтобы построить точку, симметричную точке A относительно прямой, сначала проведи через A перпендикуляр к этой прямой. Перпендикуляр задаёт кратчайший путь от точки до прямой и направление, в котором нужно искать образ. От точки пересечения перпендикуляра с прямой отложи на другой стороне отрезок той же длины, что и отрезок до A. Полученный конец обозначь A′: расстояния от A и A′ до прямой равны.

Прямая отражения служит серединным перпендикуляром к отрезку AA′, потому что A и A′ находятся на одном перпендикуляре к ней и на равных расстояниях от неё. Значит, прямая пересекает AA′ под прямым углом ровно посередине. Если A лежит на оси, расстояние до неё равно нулю, и откладывать отрезок не нужно: A′ совпадает с A. Поэтому все точки оси неподвижны при отражении.

Отражение переводит фигуру в её зеркальное изображение: каждой точке исходной фигуры соответствует точка-образ. Чтобы отразить многоугольник, достаточно построить образы его вершин и соединить их в том же порядке. Точки на оси не сдвигаются, потому что каждая из них симметрична самой себе. Если отражённый образ полностью совпал с исходной фигурой, прямая является её осью симметрии.

При отражении сохраняются расстояния: для любых двух точек расстояние между их образами равно расстоянию между исходными точками. Поэтому соответствующие стороны многоугольников равны, а величины соответствующих углов тоже не меняются. Фигура может оказаться по другую сторону оси и выглядеть перевёрнутой, но её форма и размер остаются прежними. Значит, исходная фигура и её отражение равны.

Чтобы проверить, является ли прямая осью фигуры, проследи, куда при отражении переходят точки фигуры. Для точки вне прямой найди её образ по перпендикуляру и проверь равенство расстояний до прямой. Образ каждой точки должен принадлежать той же фигуре, а вся фигура после отражения должна совпасть с исходной. Если хотя бы часть образа выходит за пределы фигуры или не совпадает с ней, указанная прямая не является осью симметрии.

Как ведут себя фигуры и их элементы при отражении относительно прямой

При решении задачи сначала определи, какой объект отражают, а затем используй соответствующую строку таблицы. Например, для построения точки нужны перпендикулярность и равные расстояния, а для сравнения фигур — сохранение длин и углов. Так проще выбрать нужное свойство и не смешать условия построения с выводами о фигуре.

Разбор задач

Построение симметричной точки

Задача. Построить точку A′, симметричную данной точке A относительно заданной прямой l. Нужно выполнить построение так, чтобы A и A′ действительно были отражениями, а не просто располагались по разные стороны от прямой. Для проверки воспользуемся свойством серединного перпендикуляра.

1. Проведи через точку A перпендикуляр к прямой l и обозначь точку их пересечения H. Перпендикуляр задаёт направление отрезка между точкой и её образом.
2. Измерь отрезок AH. На том же перпендикуляре, но по другую сторону от l, отложи от H отрезок такой же длины.
3. Обозначь его конец A′. Проверь, что AH = HA′, а прямой угол между AA′ и l сохранён.

Ответ. Полученная точка A′ симметрична точке A относительно l. Прямая l делит AA′ пополам под прямым углом.

Отражение треугольника

Задача. Построить отражённый образ треугольника ABC относительно заданной прямой l и определить, равны ли треугольники ABC и его образ. Отражать нужно все вершины, иначе нельзя восстановить весь треугольник. Сравнить фигуры можно с помощью сохранения длин и углов.

1. Проведи через каждую вершину A, B и C перпендикуляр к l. На противоположной стороне от прямой отметь точки A′, B′ и C′ на равных расстояниях от l.
2. Соедини A′, B′ и C′ в том же порядке, в котором соединены исходные вершины. Получится отражённый треугольник A′B′C′.
3. При отражении длины сторон и величины углов сохраняются. Поэтому стороны и углы одного треугольника соответственно равны сторонам и углам другого.

Ответ. Образ треугольника — треугольник A′B′C′. Треугольники ABC и A′B′C′ равны, потому что отражение сохраняет длины и углы.

Проверка оси симметрии

Задача. Определить, является ли указанная прямая l осью симметрии заданной фигуры. Проверить только то, что прямая проходит через фигуру, недостаточно: её образ после отражения должен совпасть с исходной фигурой. Удобно исследовать характерные точки, например вершины, и сравнить их с соответствующими точками фигуры.

1. Выбери точки фигуры по одну сторону от l и построй для каждой отражённую точку. Через исходную точку проведи перпендикуляр к l.
2. Проверь, что образ лежит на другой стороне на таком же расстоянии от l. Если условие нарушено хотя бы для одной точки, соответствие не является зеркальным.
3. Установи, принадлежат ли все образы исходной фигуре и совпадает ли с ней фигура целиком. Точки самой прямой при отражении остаются на месте.

Ответ. Прямая l является осью симметрии, если отражение переводит всю фигуру в неё саму. Если хотя бы один образ не принадлежит фигуре или фигура не совпадает со своим отражением, l не является её осью.

Типичные ошибки

Ошибка — поставить образ просто по другую сторону оси, не сохранив расстояние до неё. Так делают, потому что сначала замечают положение по разные стороны, а равенство расстояний упускают. Проверь отрезки от исходной точки и образа до оси: они должны быть равны.

Иногда отрезок между точкой и её образом проводят наклонно к оси. Тогда прямая не будет делить этот отрезок пополам под прямым углом, хотя именно так расположены симметричные точки. Причина обычно в неточном построении или в том, что перпендикуляр не отмечен заранее. Проверь, что угол с осью прямой и расстояния по обе стороны одинаковы.

Можно ошибочно решить, что отражение меняет размеры фигуры, потому что её образ оказывается перевёрнутым или находится в другом месте. Но изменяется расположение, а не длины сторон и величины углов. Такое заблуждение возникает, если судить по ориентации фигуры, а не сравнивать её элементы. Проверь, равны ли соответствующие стороны и углы: при отражении они сохраняются.

Не всякая прямая, проходящая через фигуру, является её осью симметрии. Прямая может пересечь фигуру, но отражённые точки при этом окажутся вне неё или не совпадут с её частями. Проверяй не одно положение прямой, а образ всей фигуры. Если после отражения фигура не совпадает сама с собой, выбранная прямая осью не является.

Связь с другими темами

Для построения отражённых точек нужно уметь проводить перпендикуляр к прямой и находить расстояние от точки до прямой: именно эти умения задают положение образа. Зеркальная симметрия связана с равенством фигур и движениями плоскости, поскольку отражение сохраняет форму и размер. Позже это пригодится при изучении симметричных фигур, преобразований и геометрических построений. Свойства отражения помогают проверять построения и восстанавливать части фигур.

Что запомнить

• При отражении точка и её образ лежат по разные стороны от оси на равных расстояниях.
• Ось симметрии перпендикулярна отрезку между точкой и её образом и делит его пополам.
• Каждая точка на оси отражения остаётся на месте.
• Отражение сохраняет расстояния и величины углов.
• Ось симметрии переводит фигуру в саму себя.