8.7. Поворот на плоскости

Определения и обозначения

Поворот плоскости — преобразование, при котором каждой точке ставится в соответствие точка, полученная поворотом вокруг заданного центра на заданный угол. Иначе говоря, точки перемещаются вокруг одной неподвижной точки, словно плоскость поворачивают вокруг булавки. Это понятие позволяет точно описывать поворот фигуры, а не только её перемещение на глаз.

Центр поворота — неподвижная точка, вокруг которой выполняется поворот; её образ совпадает с ней самой. Например, если поворачивать лист, удерживая его в одной точке, эта точка играет роль центра. Центр нужен, чтобы определить, относительно чего движется каждая точка фигуры.

Угол поворота — величина и направление поворота; положительный и отрицательный знаки позволяют различать направления. В геометрических построениях направление обычно указывают словами: по часовой стрелке или против неё. Угол вместе с центром задаёт, насколько и куда повернётся точка или фигура.

Образ точки при повороте — точка, находящаяся на том же расстоянии от центра, что и исходная, и полученная поворотом на заданный угол. Если точка A переходит в A′ при центре O, то OA = OA′. Обозначение A′ помогает отличать результат преобразования от исходной точки и прослеживать её положение.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки A при повороте вокруг O, сначала проводят окружность с центром O и радиусом OA. Это не произвольный выбор: при вращении расстояние от точки до центра не меняется, поэтому образ обязан лежать именно на этой окружности. Если взять радиус другой длины, точка окажется не на том расстоянии от центра, какое было у исходной.

Одной окружности недостаточно, чтобы указать единственный образ: на ней много точек. Поэтому от луча OA откладывают заданный угол в нужном направлении, а пересечение нового луча с окружностью отмечают как A′. Луч задаёт направление движения, а окружность — расстояние от центра; вместе эти условия определяют положение образа.

Расстояние от центра до точки сохраняется потому, что при повороте меняется направление луча, но не его длина. Для самого центра расстояние до себя равно нулю, поэтому он не перемещается и остаётся на месте. Так неподвижность центра согласуется с общим правилом сохранения расстояния.

При повороте сохраняются расстояния между любыми двумя точками. Поэтому отрезок переходит в отрезок той же длины, а углы между такими отрезками остаются прежними: поворот не растягивает и не сжимает фигуру. Это объясняет, почему измениться может расположение фигуры, но не её форма и размеры.

Чтобы повернуть многоугольник, строят образы всех его вершин, соблюдая для каждой один и тот же центр, угол и направление. Затем соединяют новые точки в том же порядке, что и исходные вершины, — стороны переходят в соответствующие им равные отрезки. Так получается фигура, равная исходной, хотя её положение на плоскости может быть другим.

Что сохраняется при повороте

Таблица помогает быстро проверить, допустимо ли построение: например, образ точки должен находиться на прежнем расстоянии от центра. При решении задач о фигуре используйте сохранение длин и углов, чтобы обосновать равенство исходной фигуры и её образа.

Разбор задач

Задача 1. Постройте образ точки A при повороте вокруг точки O на 90° против часовой стрелки. Сначала нужно ограничить возможное положение образа, а затем выбрать точку по заданному углу и направлению.

1. Проведите окружность с центром O и радиусом OA: образ не может отойти от центра дальше или приблизиться к нему.
2. Постройте луч из O, который получается из луча OA поворотом на 90° против часовой стрелки. Этот луч задаёт направление к искомой точке.
3. Обозначьте пересечение луча с окружностью A′. Ответ: A′ — образ точки A, причём OA′ = OA и угол между OA и OA′ равен 90° в указанном направлении.

Задача 2. Постройте образ треугольника ABC при повороте вокруг точки O на 60° по часовой стрелке. Поскольку поворот действует на все точки плоскости, нельзя переместить одну вершину и оставить остальные без изменения.

1. Для каждой вершины проведите окружность с центром O и радиусом соответственно OA, OB или OC. Разные радиусы нужны потому, что вершины могут находиться от центра на разных расстояниях.
2. От каждого луча OA, OB и OC отложите по часовой стрелке угол 60°. На соответствующих окружностях отметьте точки A′, B′ и C′.
3. Соедините A′, B′ и C′ в том же порядке, в каком соединены вершины исходного треугольника. Ответ: треугольник A′B′C′ — образ ABC; его стороны и углы равны соответствующим сторонам и углам исходного треугольника.

Задача 3. Точка A перешла в A′ при повороте вокруг O. Известны координаты O, A и A′. Требуется определить угол и направление поворота; координаты здесь помогают отметить точки, но сам угол находят по лучам.

1. Отметьте точки O, A и A′ на координатной плоскости и проведите лучи OA и OA′. Если одна из точек совпадает с O, направление луча для неё определить нельзя, поэтому обычная задача предполагает, что A не является центром.
2. Сравните направления лучей и найдите меньший угол между ними или тот угол, который указан в условии задачи. Для проверки поворота также убедитесь, что OA = OA′: иначе данные точки не могут быть связаны таким поворотом вокруг O.
3. Проследите переход от OA к OA′: вращение по часовой стрелке указывает это направление, обратный переход — против часовой стрелки. Ответ: величина поворота равна углу между лучами, а направление определяется тем, как луч OA переходит в OA′.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что расстояние от центра до точки при повороте меняется. Её допускают, когда представляют поворот как произвольное перемещение, не проверяя расстояния. Проверьте построение циркулем: длины OA и OA′ должны совпадать.

Ошибка: откладывать угол не от того луча. При построении легко перепутать луч, идущий из центра к исходной точке, с лучом к образу. Перед построением подпишите исходный луч OA и убедитесь, что угол отсчитывается именно от него.

Ошибка: не учитывать направление и выбрать на окружности точку с противоположной стороны. Такое случается, если ориентироваться только на величину угла и забыть слова «по часовой стрелке» или «против неё». Проверьте путь от OA к предполагаемому OA′, мысленно вращая луч в указанную сторону.

Ошибка: повернуть только одну вершину фигуры, оставив остальные на месте. Так поступают, когда путают построение образа точки с преобразованием всей фигуры. Убедитесь, что каждой вершине соответствует образ, построенный с теми же центром, углом и направлением.

Связь с другими темами

До изучения поворота полезно знать, что такое окружность, и уметь строить угол заданной величины. Равенство отрезков и углов помогает проверять построение и доказывать, что полученная фигура сохраняет размеры. Эти знания превращают поворот из рисунка в точное геометрическое преобразование.

Поворот относится к движениям плоскости — преобразованиям, сохраняющим расстояния, — и связан с равенством фигур и симметрией. Его идеи встречаются в координатных преобразованиях и задачах на построение: положение образа можно определять геометрически или описывать через координаты. В дальнейшем это помогает анализировать разные способы перемещения и сопоставления фигур.

Что запомнить

• Поворот задаётся центром, углом и направлением.
• Центр поворота не меняет своего положения.
• Расстояние от центра до точки сохраняется.
• Поворот сохраняет расстояния между точками и величины углов.
• Образ фигуры при повороте равен исходной фигуре.
• Чтобы построить образ многоугольника, достаточно повернуть его вершины.