8.8. Классификация движений плоскости

Определения и обозначения

Движение плоскости — преобразование, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. Иными словами, если точки A и B перешли в A′ и B′, то AB = A′B′. Это определение позволяет понять, почему при движении длины и форма фигуры не меняются.

Неподвижная точка — точка, которая при движении переходит сама в себя. Её обозначают тем же символом до и после преобразования, например O′ = O. Подсчёт таких точек помогает различать виды движений.

Прямое движение — движение, сохраняющее ориентацию фигур. Ориентация показывает, в каком порядке расположены вершины, например при обходе треугольника. Понятие нужно, чтобы отделить движения без «переворота» от отражений.

Противоположное движение — движение, изменяющее ориентацию фигур. Например, обход вершин после такого преобразования меняет направление. Это определение помогает распознавать осевую и скользящую симметрии.

Как это устроено

Сохранение расстояний означает, что после преобразования не меняются длины сторон и расстояния между любыми другими точками. Поэтому отрезки остаются отрезками той же длины, а треугольники и другие фигуры — равными своим исходным положениям. Но одинаковые расстояния могут сохраняться при разных перемещениях, поэтому одного признака недостаточно для классификации. Дополнительную информацию дают ориентация фигуры и точки, которые не сдвинулись.

Чтобы проверить ориентацию, можно проследить порядок вершин фигуры. Если направление обхода осталось тем же, движение прямое; если стало обратным — противоположное. Это различие связано с тем, что переносы и повороты перемещают фигуру без зеркального отражения, а симметрия относительно прямой меняет её «сторону». Поэтому движения сначала делят на две группы, а затем различают по неподвижным точкам и характеру перемещения.

У прямого движения без неподвижных точек все точки смещаются одинаково: иначе сохранение расстояний нарушилось бы или возникла бы точка, оставшаяся на месте. Такое движение является параллельным переносом. Если у прямого движения есть неподвижная точка O, расстояния от неё до остальных точек сохраняются, а направления лучей из O поворачиваются на один и тот же угол. Получается поворот вокруг O; при нулевом угле это тождественное преобразование.

У противоположного движения с неподвижными точками неподвижные точки лежат на одной прямой, а остальные точки переходят в симметричные относительно неё. Это осевая симметрия: прямая отражения и есть её ось. Если неподвижных точек нет, противоположное движение имеет вид отражения с переносом вдоль оси отражения. Ненулевой перенос не даёт точкам оси остаться на месте, поэтому такое движение называют скользящей симметрией.

Тождественное преобразование переводит каждую точку в неё саму, следовательно, неподвижны все точки плоскости. Оно сохраняет и расстояния, и ориентацию, поэтому считается движением и одновременно особым случаем прямого движения. Его можно рассматривать как поворот на нулевой угол или перенос на нулевой вектор. При классификации этот случай выделяют отдельно, чтобы не смешивать его с поворотом, имеющим только один неподвижный центр.

Классификация движений плоскости

Пользуйтесь таблицей в два шага: сначала определите, сохраняется ли ориентация, затем проверьте неподвижные точки. Учитывайте особые случаи: нулевой перенос — тождественное преобразование, а поворот на 180° — центральная симметрия. В таблице для переноса имеется в виду ненулевой вектор.

Разбор задач

Задача 1. Определить вид движения, при котором каждая точка плоскости перемещается на один и тот же вектор. Нужно выяснить не только направление движения, но и то, остаётся ли при этом какая-либо точка на месте. Общий вектор перемещения — ключевой признак параллельного переноса. Рассмотрим решение по шагам.

1. Обозначим вектор перемещения через v. Для любой точки A её образ A′ удовлетворяет условию AA′ = v.
2. Поскольку вектор один и тот же для всех точек, все они смещаются на одинаковое расстояние в одном направлении. Это определяющий признак параллельного переноса.
3. Если v не равен нулю, то A′ отличается от A для любой точки A. Значит, неподвижных точек нет; если v = 0, преобразование тождественное.

Ответ: параллельный перенос на вектор v, если v ненулевой; при нулевом векторе — тождественное преобразование.

Задача 2. Треугольник повернули вокруг точки O на угол 60°. Назвать вид движения и указать его неподвижные точки. Чтобы ответить, сначала распознаем заданное преобразование, затем проверим, какие точки могут остаться на месте. При повороте сохраняются расстояния до центра и угол поворота одинаков для всех точек. Поэтому достаточно рассмотреть положение точки относительно O.

1. В условии прямо указано вращение вокруг O на 60°, значит, это поворот.
2. Точка O остаётся на месте: расстояние от неё до центра равно нулю, и поворачивать её некуда.
3. Любая точка, отличная от O, находится на ненулевом расстоянии от центра. После поворота на 60° её луч меняет направление, поэтому такая точка не совпадает со своим образом.

Ответ: поворот на 60° вокруг O; единственная неподвижная точка — O.

Задача 3. Каждую точку сначала отражают относительно прямой a, а затем выполняют перенос вдоль a. Определить вид движения и выяснить, есть ли неподвижные точки. Здесь важно учесть не только отражение, но и порядок второй операции. Перенос направлен вдоль оси отражения и имеет ненулевой вектор.

1. Отражение относительно a меняет ориентацию, а перенос её не меняет. Значит, вся композиция остаётся противоположным движением.
2. Составное преобразование состоит из осевой симметрии и переноса вдоль её оси. Это определение скользящей симметрии.
3. Точки оси после отражения остаются на месте, но затем сдвигаются на ненулевой вектор. Точки вне оси после отражения оказываются по другую сторону, а перенос вдоль оси не возвращает их в исходное положение.

Ответ: скользящая симметрия относительно a; неподвижных точек нет.

Типичные ошибки

Считать любой перенос поворотом. Ошибка возникает потому, что оба движения перемещают фигуру, не меняя её ориентации. Но у ненулевого параллельного переноса нет неподвижных точек, а у поворота есть центр. Проверьте, остаётся ли на месте одна точка и вращаются ли вокруг неё остальные.

Называть осевую симметрию прямым движением. Отражённая фигура может выглядеть просто перемещённой, поэтому легко не заметить смену направления обхода вершин. Осевая симметрия меняет ориентацию и относится к противоположным движениям. Для проверки проследите, по часовой стрелке или против неё идут вершины до и после отражения.

Считать центральную симметрию отдельным видом движения. Название подсказывает особый тип, но преобразование уже входит в классификацию поворотов. Центральная симметрия равна повороту на 180° вокруг центра симметрии. Проверьте, что центр остаётся неподвижным, а образ каждой точки лежит напротив неё на том же расстоянии.

Путать скользящую симметрию с осевой. Обе включают отражение относительно прямой, но в первом случае после него добавляется ненулевой перенос вдоль оси. Поэтому у скользящей симметрии нет неподвижных точек, в отличие от осевой. Проверьте, выполняется ли дополнительный сдвиг и остаётся ли ось на месте.

Связь с другими темами

Для изучения классификации нужны определения движения и равенства отрезков и углов: они объясняют, почему форма фигуры при преобразовании сохраняется. Также пригодятся знакомые преобразования — параллельный перенос, поворот и симметрии, ведь классификация объединяет их в общую систему. В дальнейшем эти знания помогут распознавать преобразования фигур и доказывать равенство фигур. Они также пригодятся при изучении композиций движений, то есть последовательного выполнения нескольких преобразований.

Что запомнить

• Движение сохраняет расстояния между точками.
• Прямые движения сохраняют ориентацию, противоположные движения её меняют.
• Параллельный перенос не имеет неподвижных точек, если его вектор ненулевой.
• Поворот имеет одну неподвижную точку — центр.
• Осевая симметрия имеет неподвижные точки на оси симметрии.
• Скользящая симметрия не имеет неподвижных точек.
• Центральная симметрия является поворотом на 180°.