8.9. Равенство фигур и движения

Определения и обозначения

Равные фигуры — фигуры, которые можно совместить наложением так, чтобы они совпали целиком. Иными словами, каждой точке одной фигуры должна соответствовать точка другой, и при наложении совпадают все части. Это понятие нужно, чтобы точно говорить о совпадении фигур, а не только об одинаковых отдельных длинах или площадях.

Движение плоскости — преобразование, которое каждой точке плоскости ставит в соответствие точку и сохраняет расстояния между любыми двумя точками. Преобразование задаёт правило перехода от исходного положения к новому. Определение позволяет проверить, сохраняются ли размеры фигуры, даже если она переместилась или повернулась.

Образ точки — точка, в которую переходит данная точка при движении; исходную точку называют прообразом. Например, если точка A переходит в A′, то A′ — образ A, а A — прообраз A′. Это различие помогает правильно записывать, откуда и куда перемещаются точки.

Соответствующие точки — точки, связанные движением: одна из них является образом другой. Если A переходит в A′, а B — в B′, то расстояния между соответствующими парами сохраняются: AB = A′B′. Такое обозначение нужно, чтобы сравнивать стороны и углы исходной фигуры с их образами.

Как это устроено

При движении каждой точке фигуры соответствует единственная точка её образа. Поскольку правило преобразования действует на все точки, точки фигуры не исчезают и не превращаются в несколько разных образов. Поэтому фигура переходит в другую фигуру, у которой можно проследить соответствие каждой точки исходной.

Определение движения требует сохранять расстояние между любой парой точек, а не только между вершинами. Поэтому длины отрезков остаются прежними: концы каждого отрезка переходят в соответствующие точки на таком же расстоянии друг от друга. Углы тоже сохраняют величину, поскольку их стороны и взаимное расположение задаются расстояниями между точками. В результате форма и размеры фигуры не меняются.

Равные фигуры можно считать исходной фигурой и её образом при некотором движении. Наложение как раз задаёт такое перемещение: соответствующие точки оказываются в одинаковых местах, а значит, совпадают все части фигур. Если хотя бы часть одной фигуры не совпала с соответствующей частью другой, совместить их целиком не удалось.

Если сначала выполнить одно движение, а затем другое, расстояния всё равно сохранятся. Для любых двух точек первое преобразование оставит расстояние прежним, а второе не изменит уже полученное расстояние. Значит, последовательное выполнение движений также является движением.

Обратное преобразование возвращает каждую точку образа в её исходное положение. Оно восстанавливает те же пары точек и расстояния между ними, потому что движением они не менялись. Поэтому исходную фигуру можно получить из образа обратным движением, а не только перейти от исходной фигуры к образу.

Что сохраняется при движении и как связаны фигуры

Сначала укажите, какие точки или элементы соответствуют друг другу, затем сравните их. Для длин и углов можно сразу использовать сохранение при движении. Последняя строка помогает связать преобразование с равенством фигур целиком.

Разбор задач

Задача 1. Треугольник ABC переходит движением в треугольник A′B′C′. Известно, что AB = 5 см, BC = 7 см и ∠B = 60°. Найдите A′B′, B′C′ и ∠B′.

1. По записи перехода вершины соответствуют так: A точке A′, B точке B′, C точке C′. Поэтому сторона AB переходит в A′B′, а BC — в B′C′.
2. Движение сохраняет расстояния между точками, значит, длины соответствующих сторон равны: A′B′ = AB = 5 см и B′C′ = BC = 7 см.
3. Угол при вершине B переходит в угол при соответствующей вершине B′. Углы при движении сохраняют величину, поэтому ∠B′ = 60°.

Ответ: A′B′ = 5 см, B′C′ = 7 см, ∠B′ = 60°.

Задача 2. Докажите, что если фигура F движением переходит в фигуру G, то F и G равны.

1. При движении каждой точке F соответствует точка G, причём расстояние между любыми двумя точками сохраняется. Значит, все части фигуры переходят в соответствующие части без изменения размеров.
2. Рассмотрим обратное движение: оно возвращает точки G в исходные положения. Следовательно, фигуру G можно переместить так, чтобы каждая её точка совпала с соответствующей точкой F.
3. Такое перемещение совмещает фигуры целиком, а не только их отдельные стороны или вершины. По определению фигуры, которые можно совместить наложением, равны.

Ответ: F и G равны.

Задача 3. Даны равные треугольники ABC и A′B′C′ с соответствием вершин A ↔ A′, B ↔ B′, C ↔ C′. Обоснуйте, что отображение одного треугольника на другой сохраняет длины любых отрезков между его точками.

1. Равенство означает, что треугольники можно совместить наложением. При совмещении каждая точка одного треугольника занимает положение соответствующей точки другого.
2. Возьмём любые точки P и Q внутри треугольника или на его границе и обозначим их образы P′ и Q′. При наложении отрезок PQ совпадает с отрезком P′Q′, поэтому их длины одинаковы.
3. Выбор точек не ограничен вершинами. Значит, для любых P и Q выполняется PQ = P′Q′, и отображение сохраняет расстояния между точками треугольника.

Ответ: отображение сохраняет длины всех отрезков между точками треугольника.

Типичные ошибки

Считать фигуры равными только из-за одинаковой площади. Площадь не описывает форму: фигуры разного вида могут занимать одинаковую площадь. Эту ошибку допускают, сравнивая только одно число вместо всей фигуры. Проверьте, можно ли совместить при наложении все точки и части, а не только получить одинаковую площадь.

Считать, что движение возможно только без поворота или отражения. Такое мнение возникает, если представлять движение только как обычный перенос. Но определение требует сохранения расстояний, а не конкретного способа перемещения. Проверьте расстояния между точками: если они остаются прежними, поворот или отражение не мешают считать преобразование движением.

Путать образ точки с её прообразом. При переходе A в A′ образ — A′, а прообраз — A; перепутав их, можно неверно сопоставить вершины и стороны. Ошибка часто появляется, когда обозначения читают в обратном направлении. Для проверки проговорите стрелку «из A в A′» и затем сопоставьте остальные точки тем же способом.

Доказывать равенство по нескольким совпавшим элементам. Совпадение отдельных сторон или углов ещё не означает, что совпадает вся фигура: другие части могут быть расположены иначе. Эту ошибку допускают, принимая частичное совпадение за полное. Проверьте соответствие всех точек и возможность наложить одну фигуру на другую целиком.

Связь с другими темами

Для изучения движений нужны понятия расстояния между точками, отрезка, угла и наложения фигур. Расстояния дают способ определить движение, а наложение объясняет равенство фигур. Сохранение длин и углов помогает доказывать равенство треугольников: соответствующие элементы образа не меняются. Те же свойства пригодятся при изучении симметрий, которые являются частными видами движений.

Что запомнить

• Движение плоскости сохраняет расстояния между любыми двумя точками.
• При движении отрезки переходят в отрезки той же длины.
• При движении сохраняются величины углов.
• Образ фигуры при движении имеет ту же форму и размеры.
• Фигуры равны, если их можно совместить наложением.
• Обратное к движению преобразование также сохраняет расстояния.