§ 9. Симметрия фигур

Определения и обозначения

Осевая симметрия — преобразование, при котором точка переходит в точку, симметричную ей относительно заданной прямой. Эта прямая перпендикулярна отрезку, соединяющему точку с её образом, и делит его пополам. Поэтому расстояния от обеих точек до прямой равны, а направление отрезка к прямой — перпендикулярное. Это правило позволяет точно строить отражённую точку.

Ось симметрии фигуры — прямая, относительно которой фигура переходит сама в себя при осевой симметрии. Иными словами, после отражения ни одна часть фигуры не оказывается вне исходной фигуры. Ось помогает находить соответствующие друг другу части и проверять, правильно ли выполнено построение. У одной фигуры может быть несколько таких прямых.

Центральная симметрия — преобразование относительно точки, которая является серединой отрезка между точкой и её образом. Исходная точка и её образ лежат на одной прямой с центром и находятся от него на равных расстояниях. Это определение задаёт способ построения без отражения относительно прямой. Оно также помогает находить пары соответствующих точек фигуры.

Центр симметрии фигуры — точка, относительно которой фигура переходит сама в себя при центральной симметрии. Для каждой точки фигуры её образ должен также принадлежать этой фигуре. Центр не обязан находиться внутри самой фигуры: проверяется его положение как середины отрезков между соответствующими точками. Такое понятие полезно при исследовании многоугольников.

Как это устроено

Чтобы построить точку, симметричную данной относительно прямой, сначала проведите из точки перпендикуляр к прямой. Точка пересечения перпендикуляра с прямой будет серединой отрезка между исходной точкой и её образом. От этой середины отложите по другую сторону прямой расстояние, равное расстоянию до исходной точки. Перпендикуляр необходим потому, что именно он задаёт кратчайшее расстояние от точки до прямой и направление отражения.

Для центральной симметрии проведите прямую через данную точку и центр O. На этой прямой отметьте по другую сторону от O точку на таком же расстоянии, как исходная. Тогда O окажется серединой отрезка между точкой и её образом, что и требуется по определению. Если исходная точка совпадает с O, её образ тоже совпадает с ней.

При обеих симметриях расстояния между соответствующими точками сохраняются, как и величины углов. Причина в том, что отражение и поворот на 180° являются движениями плоскости: фигура не растягивается и не сжимается, а только меняет положение. Поэтому образ отрезка равен исходному отрезку, а образ угла имеет ту же величину. Это позволяет переносить длины и углы при построении образа фигуры.

Чтобы проверить, является ли прямая осью или точка центром симметрии фигуры, рассмотрите образы её точек. Каждый образ должен принадлежать исходной фигуре; тогда фигура при преобразовании совпадает сама с собой. Проверки одной удобной точки может быть недостаточно: нужно установить соответствие всех частей фигуры. На чертеже помогают пары вершин и сторон, но вывод должен относиться ко всей фигуре.

Оси и центр часто находят, сравнивая части фигуры, которые должны переходить друг в друга. У равнобедренного треугольника ось проходит через вершину между равными сторонами и середину основания: она меняет боковые стороны местами. У ромба обе диагонали являются осями, поскольку каждая делит его на равные части, которые отражаются друг в друга. Точка пересечения диагоналей — центр симметрии ромба, как и у любого параллелограмма; у треугольника центра симметрии нет, потому что при таком преобразовании вершины должны попарно переходить в вершины.

Осевая и центральная симметрия

Сначала определите, чем задано преобразование: прямой или точкой. Затем используйте соответствующее правило для пары «точка — образ» и проверьте всю фигуру, а не только один её элемент. Примеры в последней строке показывают, что наличие одного вида симметрии не означает автоматически наличие другого.

Разбор задач

Построить точку, симметричную данной точке относительно заданной прямой

Пусть дана точка A и прямая l, а циркуль и линейка доступны для построения. Нужно получить образ A′ так, чтобы прямая l была серединным перпендикуляром к AA′. Поэтому сначала важно найти кратчайшее расстояние от A до l, а затем перенести его на другую сторону прямой. Построение даст нужную точку по определению осевой симметрии.

1. Проведите через A перпендикуляр к прямой l и обозначьте точку пересечения через H.
2. Продолжите прямую AH за l. От точки H отложите на продолжении отрезок HA′, равный HA.
3. Проверьте, что A, H и A′ лежат на одной прямой, а AH = HA′. Тогда l перпендикулярна AA′ и проходит через его середину H.

Ответ: точка A′, построенная по другую сторону от l на том же перпендикуляре и на том же расстоянии от l, что и A. Если A лежит на l, её образ совпадает с самой точкой A. Такая проверка помогает не перепутать перпендикуляр с произвольной линией через точку.

Построить фигуру, симметричную данному треугольнику относительно точки O

Пусть дан треугольник ABC и задан центр O. При центральной симметрии вершины переходят в соответствующие вершины, поэтому достаточно построить образы A, B и C. Для каждой пары исходной вершины и её образа точка O должна быть серединой соединяющего их отрезка. После этого образ всего треугольника задаётся тремя найденными вершинами.

1. Проведите прямые AO, BO и CO; если вершина совпадает с O, её образ оставьте на месте.
2. На каждой прямой отметьте за O точку A′, B′ или C′ соответственно, чтобы OA′ = OA, OB′ = OB и OC′ = OC.
3. Соедините A′, B′ и C′ отрезками в том же порядке, что и исходные вершины.

Ответ: треугольник A′B′C′ — образ ABC относительно O. Равные расстояния от O гарантируют, что центр — середина каждого отрезка между соответствующими вершинами. Поскольку симметрия сохраняет расстояния, стороны и углы образа совпадают с соответствующими сторонами и углами исходного треугольника.

Определить все оси и центр симметрии ромба и обосновать ответ

У ромба все стороны равны, а диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Обозначим диагонали AC и BD, а их точку пересечения — O. Проверять нужно не только внешнее сходство частей на чертеже, но и то, что преобразование действительно переводит каждую вершину и сторону в соответствующую часть ромба. Свойства диагоналей дают такое обоснование.

1. Отразите ромб относительно AC: вершины A и C остаются на оси, а B и D переходят друг в друга. Равенство сторон ромба обеспечивает совпадение соответствующих частей.
2. Аналогично при отражении относительно BD вершины B и D остаются на месте, а A и C меняются местами. Значит, обе диагонали являются осями симметрии.
3. Для центральной симметрии относительно O точки A и C, а также B и D переходят друг в друга. Так как диагонали делятся пополам в O, эта точка является центром симметрии.

Ответ: оси симметрии ромба — обе диагонали, центр симметрии — точка их пересечения. У квадрата эти две диагонали дополняются ещё двумя осями, проходящими через середины противоположных сторон. Для произвольного параллелограмма диагонали остаются линиями, которые делятся пополам, но обычно не являются осями симметрии.

Типичные ошибки

При осевой симметрии иногда откладывают расстояние до образа по линии, которая не перпендикулярна оси. Тогда ось не делит отрезок между точкой и образом пополам под прямым углом, и построение неверно. Ошибку допускают, когда ориентируются только на глаз или на удобное направление. Проверьте, что образ лежит на перпендикуляре к оси и расстояния от обеих точек до неё равны.

При центральной симметрии считают, что центр обязан находиться внутри фигуры. Это требование не входит в определение: центр должен быть серединой отрезка между точкой и её образом, поэтому он может лежать вне фигуры. Такое заблуждение возникает из-за примеров вроде квадрата или параллелограмма. Проверьте условие на парах соответствующих точек, а не по положению центра относительно контура.

Симметрию отдельной точки иногда принимают за симметрию всей фигуры. Но ось или центр фигуры должны переводить в неё каждый её элемент, а не только одну вершину или часть контура. Причина ошибки — проверка слишком малого числа точек. Чтобы убедиться в симметрии, найдите образы всех характерных точек и проверьте, что получившиеся части принадлежат фигуре.

Диагональ ромба называют осью симметрии без проверки, а затем это правило переносят на любой параллелограмм. У ромба диагонали действительно являются осями, но у произвольного параллелограмма обычно нет осей симметрии. Сходство названий фигур не означает совпадения всех их свойств. Проверьте, переходят ли при отражении вершины и стороны в части исходной фигуры; для параллелограмма диагонали гарантируют центр симметрии, но не оси.

Связь с другими темами

Для построения симметричных точек нужны перпендикулярность прямых, понятие середины отрезка и умение проводить перпендикуляр. Без этих знаний нельзя точно задать положение образа. Симметрия относится к движениям плоскости и связана с равенством фигур: движение сохраняет расстояния и углы. Она также помогает изучать многоугольники и использовать их свойства при решении задач на построение.

Понятия оси и центра симметрии позволяют распознавать фигуры с одинаково расположенными частями на чертежах. Найдя такие элементы, можно быстрее сопоставить вершины, стороны и углы. Это особенно полезно, когда задача требует обосновать равенство частей фигуры. Проверка симметрии помогает отличить зрительное сходство от точного геометрического свойства.

Что запомнить

• При осевой симметрии ось — серединный перпендикуляр к отрезку между точкой и её образом.
• При центральной симметрии центр — середина отрезка между точкой и её образом.
• Симметрия сохраняет расстояния и величины углов.
• Ось или центр симметрии фигуры переводит фигуру в себя.
• У фигуры может быть несколько осей симметрии или ни одной.
• Центральная симметрия фигуры не означает, что у неё есть ось симметрии.