9.1. Общее понятие о симметрии фигур. Виды симметрии

Определения и обозначения

Симметрия фигуры — преобразование, после которого фигура совмещается сама с собой. При этом каждая точка и каждый элемент фигуры переходят в соответствующие элементы исходной фигуры. Такое понятие нужно, чтобы описывать повторяемость формы и находить её особые направления или точки.

Осевая симметрия — симметрия относительно прямой, которую называют осью симметрии. Каждой точке фигуры соответствует точка, отражённая относительно этой прямой. Это помогает проверять, делится ли фигура на две зеркально одинаковые части.

Центральная симметрия — симметрия относительно точки, называемой центром симметрии. Соответствующие точки лежат на одной прямой по разные стороны от центра и находятся от него на одинаковом расстоянии. Такое определение удобно для фигур, части которых повторяются при «переворачивании» вокруг одной точки.

Поворотная симметрия — свойство фигуры совмещаться с собой при повороте вокруг некоторого центра на угол, не являющийся полным оборотом. Угол показывает, насколько нужно повернуть фигуру для совпадения. Этот вид симметрии связывает форму фигуры с повторением её частей по кругу.

Как это устроено

Чтобы построить точку, симметричную точке относительно оси, сначала проводят через исходную точку перпендикуляр к оси. Ось должна пересечь этот перпендикуляр в середине отрезка между точкой и её образом, поэтому на другой стороне откладывают такое же расстояние. Тогда отражённая точка окажется на правильном месте, а расстояния до оси у двух точек будут равны.

При центральной симметрии соединяют исходную точку с её образом отрезком, проходящим через центр. Центр должен делить этот отрезок пополам, потому что соответствующие точки одинаково удалены от него в противоположных направлениях. Если мысленно повернуть точку вокруг центра на 180°, она как раз попадёт в образ, поэтому эти преобразования равносильны.

При поворотной симметрии задают центр и угол поворота, а затем проверяют положение всей фигуры после поворота. Совмещение должно произойти не только для одной точки, а для каждого элемента фигуры, иначе симметрии нет. Чем меньше угол, при котором происходит совпадение, тем чаще повторяются одинаковые части фигуры вокруг центра.

Симметричные преобразования не растягивают и не сжимают фигуру, а только отражают или поворачивают её. Поэтому расстояния между соответствующими точками сохраняются, соответствующие отрезки равны, а величины соответствующих углов совпадают. Благодаря этому симметрия сохраняет форму фигуры, хотя положение её частей может измениться.

У одной фигуры может быть сразу несколько осей симметрии, отдельный центр симметрии или несколько подходящих углов поворота. Например, правильный многоугольник обладает несколькими осями и поворотной симметрией, а некоторые фигуры не имеют ни одного из перечисленных свойств. Проверять нужно каждое преобразование отдельно: наличие одного вида не гарантирует наличие другого.

Виды симметрии фигур

Сначала найдите в таблице элемент, относительно которого выполняется преобразование: прямую или точку. Затем сравните расположение соответствующих точек и способ совмещения фигуры с собой. Последняя строка помогает быстро вспомнить типичный пример, но не заменяет проверку конкретной фигуры.

Разбор задач

Задача 1. На клетчатой бумаге дана точка и прямая. Построить точку, симметричную данной относительно прямой. Нужно получить отражённую точку, а не просто выбрать точку на глаз.

1. Через данную точку проведите перпендикуляр к прямой-оси.
2. Найдите точку пересечения перпендикуляра с осью.
3. От точки пересечения отложите по другую сторону оси такое же число клеток, какое было до исходной точки.
4. Обозначьте полученную точку и проверьте, что ось делит соединяющий отрезок пополам.

Ответ: построенная точка является осевым образом данной точки.

Задача 2. Для данного треугольника определить, имеет ли он ось симметрии или центр симметрии. Вид треугольника устанавливают по равенству сторон и расположению его вершин.

1. Проверьте, есть ли две равные стороны. У равнобедренного треугольника осью служит прямая через вершину и середину основания.
2. Для равностороннего треугольника отметьте, что таких осей три — по одной из каждой вершины.
3. Проверьте центр: он должен переводить каждую вершину в другую вершину, причём быть серединой соответствующего отрезка.
4. У невырожденного треугольника такого соответствия всех трёх вершин нет, поэтому центра симметрии он не имеет.

Ответ: равнобедренный треугольник имеет одну ось, равносторонний — три оси, а центр симметрии у обычного треугольника отсутствует.

Задача 3. Определить все виды симметрии правильного шестиугольника и указать соответствующие оси, центр и угол поворота. У правильного шестиугольника все стороны и углы равны, поэтому его вершины равномерно расположены вокруг центра.

1. Проведите прямые через пары противоположных вершин: получатся три оси.
2. Проведите прямые через середины пар противоположных сторон: получатся ещё три оси.
3. Найдите общий центр шестиугольника; он является центром центральной и поворотной симметрии.
4. Проверьте повороты на 60°, 120°, 180°, 240° и 300°: после каждого фигура совпадает с исходной.

Ответ: правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии, центр симметрии и поворотную симметрию при указанных углах.

Типичные ошибки

Нельзя считать, что ось симметрии обязательно проходит через вершину. Она может проходить через середины сторон или не пересекать фигуру, если отражённые части располагаются по разные стороны прямой. Проверьте себя, мысленно отразив фигуру и сравнив все её элементы.

Центральную симметрию часто путают с осевой, потому что в обоих случаях фигура совмещается сама с собой. При центральной симметрии нет прямой-зеркала: заданная точка должна быть серединой отрезка между точкой и её образом. Для проверки соедините соответствующие точки и найдите их общую середину.

Любой поворот не является симметрией фигуры. Симметрия возникает только тогда, когда после поворота вся фигура совпадает с исходной, а не просто перемещается в новое положение. Проверьте вершины, стороны и углы после выбранного поворота.

При построении образа точки иногда откладывают от оси или центра расстояние, отличное от исходного. Такая точка уже не будет симметричной, поскольку преобразование сохраняет расстояния. Измерьте отрезки до оси или центра и сравните их перед завершением построения.

Связь с другими темами

Для изучения симметрии нужны знания о перпендикуляре, середине отрезка, равенстве отрезков и углов, а также о повороте. Эти понятия позволяют точно строить образы точек и доказывать совпадение фигур.

Симметрия пригодится при изучении свойств и классификации геометрических фигур, построениях и доказательствах. Она помогает сокращать рассуждения: достаточно исследовать одну часть фигуры, если другая получается симметричным преобразованием.

Что запомнить

• При осевой симметрии ось перпендикулярна отрезку, соединяющему соответствующие точки, и делит его пополам.
• При центральной симметрии центр является серединой отрезка между точкой и её образом.
• Центральная симметрия равносильна повороту на 180° вокруг центра.
• Поворотная симметрия означает совмещение фигуры с собой при некотором повороте.
• Симметрия сохраняет расстояния и углы.
• Одна фигура может обладать несколькими видами симметрии или не обладать ими.