9.2. Фигуры, обладающие переносной симметрией

Определения и обозначения

Перенос — преобразование плоскости, при котором каждая точка смещается на один и тот же вектор. Перенос сохраняет расстояния между точками и параллельность прямых, поэтому не меняет форму и размеры фигуры. Это определение нужно, чтобы отличать сдвиг от других преобразований, например поворота.

Вектор переноса — вектор, задающий направление и величину смещения каждой точки при переносе. Его можно представить стрелкой: её направление показывает, куда сдвигают фигуру, а длина — насколько далеко. Один и тот же вектор применяется ко всем точкам, а не выбирается отдельно для каждой.

Переносная симметрия фигуры — свойство фигуры совпадать с собой после переноса на ненулевой вектор. Ненулевым называют вектор, длина которого больше нуля: без этого условия любая фигура считалась бы симметричной после сдвига на нулевое расстояние. Это понятие помогает выяснить, повторяется ли фигура при сдвиге.

Вектор симметрии фигуры — ненулевой вектор переноса, который переводит фигуру в себя. Он показывает, на какое расстояние и в каком направлении нужно сдвинуть фигуру для совпадения. Если таких сдвигов несколько, каждый подходящий вектор является вектором симметрии.

Как это устроено

При переносе все точки фигуры получают одинаковое смещение. Если точки A и B сдвинуть на один вектор, то их расстояние не изменится: обе точки переместятся параллельно и на одинаковое расстояние. Поэтому сохраняются длины сторон и углы между направлениями, а фигура не растягивается и не перекашивается. Именно этим объясняется сохранение формы и размеров.

Чтобы проверить переносную симметрию, выбери ненулевой вектор и перенеси на него каждую точку фигуры. Затем сравни получившийся образ со всей исходной фигурой: должны совпасть все точки и части, а не только некоторые элементы. Если хотя бы часть фигуры после сдвига не накладывается на прежнее место, этот вектор не является вектором симметрии. Для доказательства достаточно установить совпадение при одном подходящем ненулевом векторе.

Рассмотрим прямую и перенос вдоль неё. Любая точка прямой после такого сдвига остаётся на той же прямой, потому что движение происходит в её направлении; при этом можно найти исходную точку для каждой точки после переноса. Значит, вся прямая переходит в себя. Если же перенести её поперёк, получится параллельная прямая в другом месте, а не исходная.

Окружность и другие ограниченные фигуры занимают конечную область плоскости. Ненулевой перенос перемещает эту область, поэтому крайняя точка, расположенная в направлении сдвига, уже не совпадает со своим прежним положением. У окружности это видно и по центру: он переходит в другую точку, так что окружность оказывается в новом месте. Следовательно, такая фигура не может совпасть с исходной после ненулевого переноса.

В повторяющемся узоре одинаковые части расположены через одинаковые промежутки. Сдвиг на один шаг повторения совмещает каждую часть с соседней такой же частью, поэтому может переводить весь узор в себя. Подходят и целые кратные шага, если узор продолжается в соответствующем направлении. Сдвиг на половину шага не обязательно подходит: нужно проверить, совпадает ли после него весь узор, включая расположение и вид элементов.

Переносная симметрия некоторых фигур

Сначала определи, ограничена ли фигура и в каком направлении она может повторяться. Затем проверь, совмещает ли предложенный вектор всю фигуру, а не только её часть. Для узора важно знать его шаг и убедиться, что сдвиг на этот шаг действительно сохраняет весь рисунок.

Разбор задач

Задача 1. Докажите, что прямая обладает переносной симметрией, и укажите возможные векторы симметрии. Чтобы доказать наличие свойства, нужно предъявить ненулевой перенос, который переводит прямую в себя. Проверим перенос вдоль прямой.

1. Обозначим прямую через l и выберем ненулевой вектор, параллельный l.
2. При переносе каждая точка A прямой смещается вдоль l, поэтому её образ A′ тоже лежит на l.
3. Сдвиг обратим: каждую точку прямой можно получить переносом другой её точки на выбранный вектор. Значит, перенос переводит прямую на всю себя.

Ответ. Прямая обладает переносной симметрией. Её векторами симметрии являются все ненулевые векторы, параллельные этой прямой.

Задача 2. Определите, обладают ли переносной симметрией окружность и полоса, ограниченная двумя параллельными прямыми. Для полосы попробуем сдвиг вдоль её границ, а окружность проверим по положению центра. В обоих случаях нужно сравнить фигуру целиком до и после переноса.

1. Сдвинем полосу вдоль её границ на ненулевой вектор. Обе граничные прямые переходят в себя, а точки между ними остаются в полосе, поэтому полоса совпадает сама с собой.
2. При ненулевом переносе центр окружности смещается. Окружность с новым центром не совпадает с исходной, так что такой перенос не является её симметрией.

Ответ. Полоса обладает переносной симметрией, например при любом ненулевом переносе вдоль её границ. Окружность переносной симметрии не обладает.

Задача 3. Узор составлен из одинаковых фигур, повторяющихся вдоль прямой через равные промежутки длины a. Найдите несколько векторов симметрии и выясните, является ли вектор длины a/2 таким вектором. Сравните величину сдвига с шагом повторения, но обязательно проверьте весь узор.

1. Сдвиг на a вдоль узора переводит каждую часть в положение соседней такой же части. Поэтому вектор длины a является вектором симметрии.
2. Тот же результат даёт перенос на 2a и на 3a, а также векторы противоположного направления длины a, 2a и далее.
3. Сдвиг на a/2 совмещает узор с собой только в том случае, если весь рисунок повторяется уже через половину шага. Одного совпадения отдельных фигур недостаточно.

Ответ. Подходят векторы длины ka вдоль узора, где k — ненулевое целое число. Вектор длины a/2 не обязательно является вектором симметрии; это зависит от устройства всего узора.

Типичные ошибки

• Считать нулевой вектор вектором симметрии. Он оставляет любую фигуру на месте, поэтому ошибку легко допустить, если забыть условие о ненулевом переносе. Проверь себя: длина вектора должна быть больше нуля, а сдвиг должен быть настоящим.
• Сдвигать разные точки по-разному. Так можно получить другое преобразование, но не перенос, который задаётся одним вектором. Ошибка возникает, когда рассматривают перемещение каждой точки отдельно. Проверь, что направление и длина смещения у всех точек одинаковы.
• Судить о симметрии узора по нескольким элементам. Некоторые фигуры могут совпасть после сдвига, хотя остальная часть узора не совпадёт. Это происходит, если не проверять рисунок целиком. Проверь все его части и их расположение после переноса.
• Считать, что любой перенос сохраняет фигуру. Перенос сохраняет расстояния и форму, но обычно перемещает фигуру на плоскости. Путаница возникает из-за того, что фигура остаётся такой же по размерам. Проверь, совпадает ли её новое положение с исходным: сохранения формы для этого недостаточно.

Связь с другими темами

Для работы с переносной симметрией нужно знать понятие вектора и понимать, что значит параллельный перенос. При рассуждениях о прямой и полосе пригодятся свойства параллельных прямых. Переносная симметрия позволяет описывать повторяющиеся узоры и закономерное расположение фигур на плоскости. Она относится к движениям плоскости и сопоставляется с осевой и центральной симметрией: во всех случаях фигуру преобразуют, но правила преобразования различаются.

Что запомнить

• При переносе все точки смещаются на один и тот же вектор.
• Перенос сохраняет расстояния и параллельность.
• Переносная симметрия означает совпадение фигуры с собой после ненулевого переноса.
• Вектор такого переноса называют вектором симметрии фигуры.
• Прямая обладает переносной симметрией при переносе вдоль неё.
• Окружность не обладает переносной симметрией.
• У повторяющегося узора вектор симметрии связан с шагом повторения.