9.3. Элементы симметрии фигур

Определения и обозначения

Осевая симметрия — преобразование, при котором точка переходит в точку, симметричную ей относительно заданной прямой. Эта прямая делит пополам отрезок между точкой и её образом и перпендикулярна ему. Поэтому ось помогает точно определить положение образа, а не просто указать, что он находится «на другой стороне».

Ось симметрии фигуры — прямая, относительно которой фигура при отражении переходит сама в себя. Это означает, что отражённые точки принадлежат той же фигуре и вся она совпадает со своим образом. Такое определение позволяет отличить настоящую ось симметрии от прямой, которая лишь проходит через фигуру.

Центральная симметрия — преобразование относительно точки, при котором исходная точка и её образ лежат на одной прямой по разные стороны от неё и находятся на равных расстояниях. Значит, заданная точка оказывается серединой отрезка между ними. Это свойство используют при построении образа и при проверке симметрии.

Центр симметрии фигуры — точка, относительно которой фигура переходит сама в себя. Каждой точке фигуры соответствует другая точка этой же фигуры, причём центр — середина отрезка между ними. Поэтому недостаточно найти одну подходящую пару: соответствие должно выполняться для всей фигуры.

Как это устроено

Чтобы построить точку, симметричную данной относительно прямой, сначала проводят перпендикуляр к этой прямой через исходную точку. На этом же перпендикуляре, по другую сторону от прямой, отмечают точку на таком же расстоянии. Перпендикулярность нужна потому, что именно кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру. Равные расстояния делают прямую серединным перпендикуляром к отрезку между точками.

При центральной симметрии проводят прямую через исходную точку и центр преобразования. Затем продолжают её за центр и откладывают от него отрезок такой же длины, как до исходной точки. Так центр оказывается серединой отрезка, соединяющего точку с образом. Если исходная точка совпала с центром, её образ тоже совпадает с ней: отложить ненулевое расстояние в этом случае не нужно.

Обе симметрии сохраняют расстояния и углы: отражённые или соответствующие отрезки равны, а величины углов не меняются. Это объясняется тем, что отражение и поворот лишь меняют положение точек, но не растягивают и не сжимают фигуру. Поэтому образ любой фигуры имеет ту же форму и размер. Если прямая или точка является элементом симметрии именно этой фигуры, полученный образ полностью совпадает с исходной фигурой.

Проверяя, является ли прямая осью симметрии, нужно представить отражение всей фигуры, а не проверить только отдельные точки. У каждой точки должен найтись образ, который также принадлежит фигуре; части фигуры по обе стороны от прямой должны точно совместиться. Например, прямая может проходить через вершину и середину противоположной стороны, но осью она станет лишь тогда, когда отражённые части совпадут. Такой способ проверки не позволяет принять случайное совпадение нескольких точек за симметрию.

Центральную симметрию можно представить как поворот фигуры на 180° вокруг центра: после такого поворота каждая точка оказывается на противоположной стороне центра на том же расстоянии. У отрезка середина является центром симметрии, потому что его концы меняются местами, а каждой внутренней точке соответствует точка на таком же расстоянии от середины с другой стороны. У окружности центр симметрии — центр самой окружности: противоположные концы любого диаметра равноудалены от него, а при повороте окружность совпадает сама с собой.

Сравнение осевой и центральной симметрии

Сначала определите задающий элемент: прямую или точку. Затем проверьте, какое условие связывает точку с её образом, и только после этого исследуйте всю фигуру. Таблица помогает не смешивать построение образа точки с проверкой симметрии целой фигуры.

Разбор задач

Построить точку, симметричную данной точке относительно заданной прямой

Условие. Даны точка A и прямая l; требуется построить точку A′, симметричную A относительно l. Искомая точка должна оказаться по другую сторону прямой и на том же расстоянии от неё. Поэтому строить её нужно на перпендикуляре, проведённом из A к l.

1. Проведём через A перпендикуляр к прямой l и обозначим точку пересечения через H.
2. Измерим длину отрезка AH. На том же перпендикуляре по другую сторону от l отложим отрезок HA′, равный AH.
3. Проверим построение: H — середина AA′, а AA′ перпендикулярен l. Значит, l является серединным перпендикуляром к AA′.

Ответ: точка A′, построенная на перпендикуляре к l так, что HA′ = HA.

Найти центр симметрии отрезка и построить образ одной его вершины

Условие. Дан отрезок AB; нужно определить его центр симметрии и построить образ вершины A относительно этого центра. При центральной симметрии центр преобразования должен быть серединой отрезка между точкой и образом. Удобно проверить, подходит ли на эту роль середина самого AB.

1. Построим середину O отрезка AB. Тогда AO = OB.
2. Возьмём O за центр преобразования и проведём прямую через A и O.
3. Продолжим её за O. Так как OA = OB, точка, симметричная A относительно O, — это B.
4. Проверим результат: O лежит на AB и делит его пополам, значит, он является серединой отрезка между A и B.

Ответ: центр симметрии отрезка AB — его середина O; образ вершины A — вершина B.

Определить оси симметрии и центр симметрии прямоугольника

Условие. Дан прямоугольник ABCD; требуется найти его оси и центр симметрии. При отражении относительно оси фигура должна совпасть сама с собой, а при центральной симметрии — совпасть после поворота на 180°. У прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому соответствующие половины могут точно совместиться.

1. Проведём прямые через середины противоположных сторон: одну параллельно AB, другую параллельно BC. При отражении относительно каждой прямой вершины одной стороны переходят в соответствующие вершины другой стороны.
2. Отражённые стороны и углы совпадают, поэтому обе прямые являются осями симметрии. Диагонали не добавляют осей, если прямоугольник не является квадратом.
3. Обозначим точку пересечения диагоналей через O. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — середина отрезков между противоположными вершинами.
4. Поворот на 180° вокруг O меняет местами A и C, а также B и D; стороны прямоугольника при этом совпадают со своими образами.

Ответ: у прямоугольника две оси симметрии — прямые через середины противоположных сторон, и один центр симметрии — точка пересечения диагоналей.

Типичные ошибки

Ошибочно считать осью симметрии любую прямую, проходящую через фигуру. Такое мнение возникает, если проверяют только, делит ли прямая фигуру на части. Отражайте фигуру мысленно: ось подходит, лишь когда обе части полностью совпадают.

При построении осевого образа иногда откладывают равное расстояние не по перпендикуляру к оси. Равные расстояния до произвольных точек на прямой ещё не означают симметрию, потому что отрезок между точкой и образом должен быть перпендикулярен оси. Проверьте одновременно оба условия: перпендикулярность и равенство расстояний от оси.

Центральную симметрию путают с поворотом на произвольный угол. Возможно, слово «поворот» запоминается, а его точный угол упускается; для центральной симметрии он всегда равен 180°. Проверьте, что точка и её образ лежат на одной прямой по разные стороны от центра и равноудалены от него.

Нельзя называть вершину или ось центром симметрии, не проверив пары точек. Иногда одна пара выглядит подходящей, но для остальных точек условие может нарушаться. Убедитесь, что выбранная точка — середина отрезка между каждой точкой фигуры и её образом.

Связь с другими темами

Для построений симметричных точек нужны знакомые понятия: перпендикулярность прямых, середина отрезка и равные расстояния. Без них нельзя проверить, правильно ли расположен образ относительно оси или центра. Симметрия пригодится при изучении преобразований плоскости и свойств многоугольников, а также при построении геометрических фигур. Она позволяет распознавать совпадающие части фигуры и упрощать построения.

Что запомнить

• При осевой симметрии ось является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точку с её образом.
• При центральной симметрии центр — середина отрезка между точкой и её образом.
• Осевая и центральная симметрии сохраняют расстояния и углы.
• Ось симметрии и центр симметрии — элементы фигуры, а не просто параметры построения.
• Центральная симметрия равносильна повороту на 180° вокруг центра.
• Чтобы проверить симметрию фигуры, нужно убедиться, что её образ полностью совпадает с исходной фигурой.