9.4. Симметрия правильных многоугольников, правильных пирамид и призм

Определения и обозначения

Симметрия фигуры относительно точки, или центральная симметрия, означает, что каждой точке фигуры соответствует точка по другую сторону центра на таком же расстоянии. Центр служит серединой отрезка, соединяющего эти две точки. Это определение помогает проверить, совпадёт ли фигура сама с собой при таком преобразовании.

Ось симметрии правильного многоугольника — прямая, относительно которой отражение переводит многоугольник в себя. Иными словами, части фигуры по разные стороны прямой зеркально совпадают. По осям можно понять, как устроено расположение вершин и сторон.

Плоскость симметрии многогранника — плоскость, отражение относительно которой переводит многогранник в себя. Она делит тело на две зеркально одинаковые части. Это определение используют, чтобы описать симметрию объёмной фигуры.

Ось вращательной симметрии многогранника — прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол многогранник совмещается сам с собой. Угол поворота может быть меньше полного оборота. Такая ось показывает, вокруг какого направления тело сохраняет свой вид.

Как это устроено

У правильного n-угольника все стороны и углы равны, поэтому его вершины равномерно расположены вокруг центра. Угол полного оборота равен 360°, а между соседними вершинами центральный угол составляет 360°/n. Поэтому поворот на этот угол переставляет каждую вершину на место следующей, а стороны — на соседние стороны. Повторяя поворот, получаем n положений, включая исходное; дальше фигура начинает повторяться.

Оси отражательной симметрии проходят через центр, потому что отражение должно сохранить центр и одинаково расположить пары вершин и сторон. Если n нечётно, через каждую вершину можно провести прямую к середине стороны напротив: отражение оставляет вершину на месте и меняет местами остальные пары. Если n чётно, есть два типа осей: через пары противоположных вершин и через середины противоположных сторон. В обоих случаях таких осей всего n.

У правильной пирамиды вершина находится над центром правильного основания, а боковые грани устроены одинаково. Поэтому поворот вокруг прямой через вершину и центр основания действует на вершины основания так же, как поворот правильного многоугольника вокруг его центра. Если основание совмещается само с собой, боковые грани тоже переходят друг в друга. Плоскость симметрии должна содержать эту ось, а её пересечение с основанием должно быть осью симметрии основания; так отражение одновременно сохраняет основание и вершину.

В правильной призме основания — одинаковые правильные многоугольники, а боковые рёбра перпендикулярны их плоскостям. Поворот вокруг прямой через центры оснований поворачивает оба основания одинаково, а боковые грани переходят в соответствующие грани. Поэтому допустимые углы определяются симметрией основания. Вертикальная плоскость, содержащая эту прямую и ось основания, отражает каждое основание в себя и сохраняет боковую часть призмы.

Кроме вертикальных плоскостей, у правильной призмы есть плоскость посередине между основаниями и параллельная им. Отражение относительно неё меняет основания местами, а точки боковых рёбер — на точки на тех же рёбрах. Центр призмы находится на пересечении этой плоскости с осью вращения. При чётном n основание имеет центральную симметрию, поэтому отражение относительно центра призмы переводит вершины одного основания в соответствующие вершины другого; при нечётном n такой пары для каждой вершины нет.

Симметрии правильного многоугольника, пирамиды и призмы

В строке о поворотах считают различные положения фигуры за полный оборот, включая исходное; повороты на 360° и на 0° дают одно положение. Для конкретной призмы или пирамиды сначала ищите указанную ось, затем учитывайте симметрию основания. Строка о центральной симметрии отдельно показывает, подходит ли отражение относительно точки.

Разбор задач

Задача 1

Сколько осей симметрии имеет правильный пятиугольник и как они расположены? Нужно не искать пары противоположных вершин, а учесть, что число сторон нечётно. Правило для нечётного числа сторон связывает каждую ось с одной вершиной и серединой стороны напротив. Проверим, сколько таких осей получится.

1. У пятиугольника n = 5, поэтому число осей симметрии равно пяти.
2. Через каждую из пяти вершин проходит своя ось, соединяющая её с серединой противоположной стороны.
3. Оси проходят через центр пятиугольника и располагаются равномерно вокруг него.

Ответ: пять осей; каждая проходит через вершину и середину противоположной стороны.

Задача 2

Назвать ось вращательной симметрии и число совмещений правильной шестиугольной пирамиды. Вершина пирамиды расположена над центром основания, поэтому ось следует искать по линии, соединяющей эти точки. Число различных положений зависит от того, сколько раз правильный шестиугольник совмещается с собой за полный оборот. Перенесём это свойство основания на всю пирамиду.

1. Проведём прямую через вершину пирамиды и центр основания — это её ось вращательной симметрии.
2. У основания n = 6, поэтому поворот на 360°/6 = 60° переставляет его вершины и стороны.
3. При таком повороте боковые грани также переходят друг в друга; за полный оборот получаем шесть различных совмещённых положений.

Ответ: ось проходит через вершину и центр основания; имеется шесть различных положений, включая исходное.

Задача 3

Имеет ли правильная восьмиугольная призма центр симметрии и как описать её плоскости симметрии? Здесь важно независимо проверить центральную симметрию основания и найти плоскости двух разных направлений. Число сторон основания чётное, поэтому основание имеет центр симметрии. У призмы также есть плоскость, меняющая основания местами.

1. Поскольку n = 8 — чётное число, призма имеет центр симметрии: он находится посередине между центрами оснований.
2. У правильного восьмиугольника восемь осей симметрии, поэтому через ось призмы проходят восемь вертикальных плоскостей симметрии.
3. Добавим среднюю плоскость, параллельную основаниям и равноудалённую от них. Итого у призмы девять плоскостей симметрии.

Ответ: центр симметрии есть; плоскостей симметрии девять — восемь вертикальных и одна средняя.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что оси правильного многоугольника всегда проходят через противоположные вершины. Так думают, перенося на нечётный многоугольник привычный рисунок чётного. Проверьте чётность числа сторон: у нечётного n ось проходит через вершину и середину противоположной стороны.

Ошибка: путать ось отражательной симметрии с осью вращательной симметрии. В обоих случаях говорят о прямой, поэтому преобразования легко смешать. Для отражения проверяйте зеркальное совпадение частей по сторонам прямой, а для вращения — совмещение после поворота на подходящий угол.

Ошибка: считать, что у призмы есть только плоскости через её ось. Эти плоскости заметны сразу, поэтому среднюю плоскость иногда упускают. Проверьте отдельно плоскость, параллельную основаниям и проходящую ровно посередине: она отражает одно основание в другое.

Ошибка: приписывать правильной пирамиде центр симметрии. Кажется, что центр основания мог бы быть таким центром, но у пирамиды нет второй части, которая при отражении поменялась бы с первой. Проверка простая: отражённая вершина должна иметь соответствующую точку внутри фигуры, а вершине пирамиды такой пары нет.

Связь с другими темами

Чтобы разобраться в теме, нужно уметь распознавать осевую и центральную симметрию плоских фигур, понимать поворот и знать свойства правильных многоугольников. Эти знания позволяют перейти от симметрии основания к симметрии всего многогранника. Новые свойства помогают изучать многогранники и их сечения, выполнять построения и находить элементы симметрии пространственных тел. Например, при анализе сечения удобно учитывать, какие части фигуры переходят друг в друга.

Что запомнить

• Правильный n-угольник совмещается с собой при поворотах вокруг центра на кратные 360°/n.
• У правильного n-угольника n осей симметрии.
• Ось вращательной симметрии правильной пирамиды проходит через вершину и центр основания.
• Ось вращательной симметрии правильной призмы проходит через центры оснований.
• У правильной призмы есть плоскость симметрии посередине между основаниями.
• Правильная призма имеет центр симметрии при чётном числе сторон основания; правильная пирамида центра симметрии не имеет.