"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Правильный многогранник — выпуклое тело, поверхность которого составлена из одинаковых правильных многоугольников, а в каждой вершине сходится одно и то же число граней. Такими телами можно заполнить пространство симметрично и без перекосов; поэтому они встречаются в геометрии и моделях кристаллов. Существует всего пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их свойства связаны с углами многоугольников и формулой Эйлера.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многогранник — это тело, поверхность которого состоит из многоугольников; эти многоугольники называются гранями. Стороны граней являются рёбрами, а концы рёбер — вершинами. Эти названия нужны, чтобы описывать строение тела и считать его элементы.
Правильный многогранник — выпуклый многогранник, все грани которого являются равными правильными многоугольниками, причём в каждой вершине сходится одно и то же число граней. Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы, а выпуклость означает, что любой отрезок между точками тела целиком лежит внутри него. Условия равенства граней и одинакового устройства вершин отличают правильное тело от просто симметричного многогранника.
Число вершин обычно обозначают В, число рёбер — Р, число граней — Г. Угол многоугольника при вершине называют плоским углом грани. Обозначения помогают записывать общие зависимости между элементами и сравнивать разные многогранники без подробного описания каждого из них.
У правильного многогранника грани должны соединяться так, чтобы поверхность замкнулась и образовала выпуклое тело. В каждой вершине встречается одинаковое число граней: иначе некоторые вершины имели бы разное устройство, и многогранник не был бы правильным. Граней вокруг вершины должно быть не менее трёх, потому что две плоские фигуры не могут замкнуть пространство вокруг точки.
На плоскости полный угол равен 360°. Если сумма плоских углов граней при вершине равна 360°, они расправятся в одну плоскость и не образуют выпуклый угол тела; если сумма больше 360°, грани не смогут сложиться вокруг вершины. Поэтому для правильного многогранника сумма должна быть строго меньше 360°. Это условие сразу ограничивает возможные виды граней и число граней у вершины.
Например, угол правильного треугольника равен 60°. В одной вершине могут встретиться три, четыре или пять таких граней: суммы составят 180°, 240° и 300°. Шесть граней дали бы 360°, поэтому выпуклого тела не получится. У квадрата угол равен 90°: подходят три квадрата, но четыре уже дают 360°. У правильного пятиугольника угол равен 108°: подходят только три грани, поскольку четыре дали бы 432°.
У правильного многоугольника с n сторонами внутренний угол равен 180° · (n − 2) / n. С ростом n этот угол приближается к 180°, поэтому вокруг вершины помещается всё меньше таких граней. Проверка углов даёт пять возможных сочетаний: три, четыре или пять треугольников; три квадрата; три правильных пятиугольника. Именно им соответствуют пять правильных многогранников, а другие правильные многоугольники не дают подходящего выпуклого тела.
Числа вершин, рёбер и граней связаны формулой Эйлера: В − Р + Г = 2. Она верна для любого выпуклого многогранника, а не только для правильного. Для правильных тел можно дополнительно считать стороны граней: если в каждой грани n сторон, то nГ = 2Р, поскольку каждое ребро принадлежит двум граням. Эти подсчёты позволяют проверять таблицы и находить неизвестное число элементов.
| Многогранник | Грани | Вершины, В | Рёбра, Р | Грани, Г |
|---|---|---|---|---|
| Тетраэдр | 4 равных треугольника | 4 | 6 | 4 |
| Куб (гексаэдр) | 6 равных квадратов | 8 | 12 | 6 |
| Октаэдр | 8 равных треугольников | 6 | 12 | 8 |
| Додекаэдр | 12 равных правильных пятиугольников | 20 | 30 | 12 |
| Икосаэдр | 20 равных треугольников | 12 | 30 | 20 |
Сначала определите многогранник по форме и числу его граней, затем найдите нужную строку и столбец. Проверить числа можно по формуле Эйлера: например, у куба 8 − 12 + 6 = 2. Таблица также показывает, что у некоторых тел совпадает число рёбер, но различаются число и форма граней.
Задача. Какой правильный многогранник может иметь гранями правильные пятиугольники? Найдите число его вершин, рёбер и граней. Решение полезно начать не с угадывания названия, а с проверки того, сколько пятиугольников может сходиться у одной вершины.
Внутренний угол правильного пятиугольника равен 108°. Это можно получить по формуле 180° · (5 − 2) / 5.
Проверим число граней у вершины. Две грани недостаточны для замыкания тела, поэтому рассматриваем не менее трёх. Три угла дают 3 · 108° = 324°, а это меньше 360°; значит, такое соединение может образовать выпуклую вершину.
Четыре грани дали бы 4 · 108° = 432°, то есть больше 360°. Поэтому в каждой вершине должны сходиться ровно три пятиугольные грани.
Обозначим число граней через Г, рёбер через Р, вершин через В. Поскольку в каждой грани пять сторон, а каждое ребро принадлежит двум граням, 5Г = 2Р. Поскольку в каждой вершине сходятся три грани, подсчёт углов граней даёт 5Г = 3В.
Из этих равенств получаем Р = 5Г / 2 и В = 5Г / 3. Подставим их в формулу Эйлера: В − Р + Г = 2. Тогда 5Г / 3 − 5Г / 2 + Г = 2, откуда Г / 6 = 2 и Г = 12.
Теперь находим остальные числа: Р = 5 · 12 / 2 = 30, В = 5 · 12 / 3 = 20. Проверка: 20 − 30 + 12 = 2, значит, найденные значения согласуются с формулой Эйлера.
Ответ: это правильный додекаэдр; у него 12 граней, 30 рёбер и 20 вершин. В решении использованы два независимых подсчёта: сколько сторон граней приходится на рёбра и сколько углов граней сходится в вершинах. Формула Эйлера связывает результаты этих подсчётов.
Считать правильным любой многогранник с одинаковыми гранями. Так делают, потому что запоминают только одно условие определения; однако важно и одинаковое число граней в каждой вершине. Проверьте отдельно форму всех граней и устройство каждой вершины.
Разрешать сумме углов при вершине быть равной 360°. Это происходит, если воспринимать условие как «не больше 360°», но при равенстве грани расправляются в плоскость. Для выпуклого многогранника сумма должна быть строго меньше 360°.
Считать каждое ребро принадлежащим только одной грани и записывать nГ = Р. Ошибка возникает при подсчёте сторон по отдельным граням: каждое ребро встречается в подсчёте дважды, по одной стороне каждой из двух соседних граней. Поэтому верное равенство — nГ = 2Р; результат можно дополнительно проверить по В − Р + Г = 2.
Для правильных многогранников нужны знания о правильных многоугольниках: их стороны и углы позволяют проверить, сложится ли выпуклая вершина. Подсчёт вершин, рёбер и граней связан с формулой Эйлера, которая применяется и к другим выпуклым многогранникам. В пространственной геометрии те же элементы помогают описывать сечения, симметрию и взаимное расположение граней.
Правильный многогранник выпуклый; его грани — равные правильные многоугольники, а в каждой вершине сходится одинаковое число граней.
Сумма плоских углов при вершине должна быть меньше 360°; это условие объясняет, почему правильных многогранников всего пять.
Пять видов: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
Для выпуклого многогранника В − Р + Г = 2; если грани имеют по n сторон, то nГ = 2Р.
Почему правильных многогранников только пять?
В каждой вершине должно сходиться не меньше трёх граней, а сумма их плоских углов должна быть меньше 360°, иначе тело не будет выпуклым. Для правильных многоугольников этим условиям удовлетворяют только пять сочетаний: три треугольника, четыре треугольника, пять треугольников, три квадрата или три правильных пятиугольника.
Куб — это правильный многогранник?
Да. Все грани куба — равные квадраты, а в каждой вершине сходятся три грани. Значит, куб соответствует обоим условиям правильного многогранника.
Как связаны число вершин, рёбер и граней?
Для выпуклого многогранника действует формула Эйлера: В − Р + Г = 2, где В — число вершин, Р — число рёбер, Г — число граней. Она позволяет найти один из этих показателей, если известны два остальных.
9.5. Правильные многогранники
