§ 3. Правильные многогранники

Определения и обозначения

Правильный многогранник — выпуклый многогранник, все грани которого являются равными правильными многоугольниками, а в каждой вершине сходится одно и то же число граней. Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы. Оба условия для многогранника обязательны: они позволяют отличить правильное тело от фигуры, у которой совпадают только грани.

Правильный тетраэдр — многогранник с четырьмя равными равносторонними треугольниками, а куб — многогранник с шестью равными квадратами. В каждой вершине тетраэдра и куба сходятся по три грани. Эти знакомые тела показывают, что правильные многогранники могут иметь разные формы граней.

У правильного октаэдра восемь равных треугольных граней и по четыре грани у вершины. Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников, по три при каждой вершине. У правильного икосаэдра двадцать равносторонних треугольников и по пять граней у вершины.

Эти пять тел называют выпуклыми правильными многогранниками: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Других выпуклых правильных многогранников не существует. Названия удобно связывать с формой грани и числом граней всего тела, а не пытаться запоминать пять фигур как несвязанный список.

Как это устроено

Форма грани и число граней, сходящихся в вершине, задают тип правильного многогранника. Например, треугольник может встречаться у вершины три, четыре или пять раз — так возникают тетраэдр, октаэдр или икосаэдр. Одинаковое число граней при вершинах требуется, чтобы все вершины устроены одинаково; вместе с равными гранями это обеспечивает правильность всего тела.

В вершине выпуклого многогранника должны сходиться хотя бы три грани: две грани образовали бы угол, но не замкнули бы вершину в пространстве. Плоские углы граней вокруг вершины в сумме должны быть меньше 360°. Если сумма равна 360°, поверхность в этой точке становится плоской, а если больше — грани не смогут образовать выпуклый угол.

Обозначим через p число сторон каждой грани, а через q — число граней у вершины. У правильного p-угольника внутренний угол равен 180°(p − 2)/p, поэтому для выпуклой вершины требуется q · 180°(p − 2)/p < 360°. Кроме того, p и q — целые числа не меньше трёх. Эти ограничения отсекают многоугольники с большим числом сторон и варианты с чрезмерным числом граней вокруг вершины.

Переберём оставшиеся значения. При треугольных гранях возможны q = 3, 4 или 5; при квадратных — только q = 3; при пятиугольных — также только q = 3. Для правильных многоугольников с шестью и более сторонами даже три угла дают сумму не меньше 360°, поэтому такие грани не подходят. Получаются ровно пять сочетаний: (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3) и (5, 3).

Число граней Г, рёбер Р и вершин В связано формулой Эйлера: В − Р + Г = 2. Чтобы считать рёбра по граням, сложите число сторон всех граней: каждое ребро при этом посчитано дважды, значит, Р = pГ/2. Аналогично, при подсчёте концов рёбер у вершин получаем qВ = 2Р. Поэтому, зная тип многогранника и две его характеристики, можно найти третью и проверить ответ формулой Эйлера.

Основные характеристики правильных многогранников

Чтобы определить тело по таблице, сначала сравните форму граней, затем число граней у вершины. При подсчётах используйте формулу Эйлера и помните, что каждое ребро принадлежит двум граням.

Разбор задач

Задача 1. Определить вид правильного многогранника, если его грани — равносторонние треугольники и в каждой вершине сходятся три грани. Сначала распознаём форму грани, затем сверяем число граней при вершине с допустимыми сочетаниями. Такой порядок позволяет не перепутать тела с одинаковой формой граней.

1. Равносторонний треугольник — правильная грань с тремя сторонами.
2. В каждой вершине сходятся три грани, значит, параметры равны p = 3 и q = 3.
3. Сочетанию (3, 3) соответствует правильный тетраэдр.

Ответ: правильный тетраэдр.

Задача 2. У правильного многогранника грани — пятиугольники, у каждой вершины сходятся три грани. Нужно найти число граней, рёбер и вершин. По сочетанию формы грани и числа граней при вершине узнаём тело, после чего считаем рёбра и применяем формулу Эйлера.

1. Пятиугольные грани и q = 3 означают, что это правильный додекаэдр; у него Г = 12.
2. Каждая грань имеет пять сторон, поэтому подсчёт сторон всех граней даёт 5 · 12. Каждое ребро посчитано дважды, значит, Р = 5 · 12 / 2 = 30.
3. По формуле В − Р + Г = 2 получаем В = 2 + Р − Г = 2 + 30 − 12 = 20.

Ответ: 12 граней, 30 рёбер, 20 вершин.

Задача 3. Докажем, что выпуклых правильных многогранников существует только пять. Пусть p — число сторон грани, q — число граней у вершины. Используем условие на сумму углов, а затем проверим все возможные целые значения.

1. Внутренний угол правильного p-угольника равен 180°(p − 2)/p. В выпуклой вершине сумма углов меньше 360°, поэтому q · 180°(p − 2)/p < 360°.
2. Преобразуем неравенство: q(p − 2) < 2p, или (p − 2)(q − 2) < 4. При этом p ≥ 3 и q ≥ 3, так как грани должны быть многоугольниками, а в вершине должны сходиться хотя бы три грани.
3. Положительные целые числа p − 2 и q − 2 могут быть только 1 и 1, 1 и 2, 1 и 3 или 2 и 1. Получаются пары (p, q): (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (5, 3).
4. Каждая пара соответствует одному правильному многограннику: тетраэдру, октаэдру, икосаэдру, кубу или додекаэдру. Других допустимых пар нет, следовательно, иных выпуклых правильных многогранников быть не может.

Ответ: существует ровно пять типов выпуклых правильных многогранников.

Типичные ошибки

Считать достаточным, что все грани равны, — значит забыть, что они должны быть правильными многоугольниками и одинаково сходиться у каждой вершины. Так ошибаются, принимая внешнее сходство за определение. Проверьте сразу оба условия, а не одно из них.

Число граней при вершине иногда путают с числом рёбер, выходящих из неё. В правильном многограннике эти числа совпадают, потому что соседние грани разделены рёбрами, но смысл подсчётов разный. Для проверки посчитайте отдельно грани вокруг вершины и рёбра с её концом.

В формуле Эйлера легко переставить числа: правильная запись — В − Р + Г = 2. Ошибка возникает, если не закрепить, какая буква обозначает вершины, рёбра и грани. Подставьте известные значения и убедитесь, что равенство действительно даёт 2.

Наличие правильных многоугольников в гранях само по себе не делает многогранник правильным. У разных вершин может сходиться разное число граней, или грани могут быть правильными, но не равными. Проверка обоих условий определения позволяет не делать поспешный вывод.

Связь с другими темами

Для изучения правильных многогранников нужны свойства правильных многоугольников и формула Эйлера, связывающая число вершин, рёбер и граней. Также используются понятия грани, ребра, вершины и многогранного угла — фигуры, образованной плоскими углами вокруг вершины.

Классификация пригодится при вычислении площадей и объёмов многогранников, а также при изучении симметрии пространственных тел. Например, понимание взаимной связи куба и октаэдра помогает увидеть, как число граней одного тела связано с числом вершин другого.

Что запомнить

• У правильного многогранника все грани — равные правильные многоугольники.
• В каждой вершине правильного многогранника сходится одинаковое число граней.
• Выпуклых правильных многогранников существует ровно пять.
• Правильные многогранники — тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
• Сумма плоских углов граней при любой вершине меньше 360°.
• Для правильного многогранника выполняется формула Эйлера: В − Р + Г = 2.
• Числа граней, рёбер и вершин связаны с числом сторон грани и числом граней при вершине.