3.1. Симметрия в пространстве

Определения и обозначения

Центральная симметрия относительно точки O — преобразование, при котором точка A переходит в точку A′ так, что O является серединой отрезка AA′. Точка O называется центром симметрии, а A′ — образом A. Это определение позволяет однозначно построить образ: он лежит на прямой AO по другую сторону от центра на таком же расстоянии.

Осевая симметрия относительно прямой l переводит точку A в точку A′ так, что прямая l перпендикулярна AA′ и проходит через его середину. Прямую l называют осью симметрии. Если A лежит на l, то её образ совпадает с ней самой; остальные точки отражаются на противоположную сторону оси.

Симметрия относительно плоскости α переводит точку A в точку A′ так, что плоскость α перпендикулярна AA′ и проходит через его середину. Плоскость α называют плоскостью симметрии. Все её точки неподвижны, а точки вне плоскости переходят на другую сторону на равное расстояние от неё.

Как это устроено

При любом из трёх преобразований каждой точке исходной фигуры соответствует одна точка-образ. Чтобы понять, где она окажется, сначала определяют объект симметрии: центр, ось или плоскость. Его положение задаёт направление и расстояние до образа, поэтому одной исходной точки и заданного объекта достаточно для построения.

Для центральной симметрии точка O должна оказаться ровно посередине между A и A′. Поэтому обе точки лежат на одной прямой с центром, но по разные стороны от него, а расстояния OA и OA′ равны. На практике проводят прямую AO и продолжают её за O; откладывая равный отрезок, получают единственное возможное положение A′.

При симметрии относительно прямой отрезок AA′ направлен перпендикулярно оси, а сама ось делит его пополам. Если бы отрезок не был перпендикулярен l, он не задавал бы кратчайший путь от A до прямой и не обеспечивал бы одинаковые расстояния точки и образа до оси. Поэтому строят перпендикуляр к l и откладывают на другой его стороне такой же отрезок.

При отражении относительно плоскости действует тот же принцип, что и при осевой симметрии, только вместо прямой рассматривается плоскость. Отрезок от точки к образу проводят по перпендикуляру к α, а точку пересечения с плоскостью выбирают его серединой. Так обе точки оказываются на одинаковом расстоянии от плоскости, но по разные стороны от неё.

Симметрия сохраняет расстояния между точками: образ любого отрезка равен исходному, а его концы переходят в образы концов. Поэтому сохраняются длины и углы, а фигура переходит в равную ей фигуру. Если при симметрии относительно выбранного центра, прямой или плоскости образ полностью совпал с исходной фигурой, говорят, что фигура обладает соответствующей симметрией.

Сравнение симметрий в пространстве

Сравнивайте сначала объект, относительно которого выполняется преобразование, а затем условие для отрезка AA′. Строка о неподвижных точках помогает сразу понять, какие элементы фигуры не перемещаются. Для построения выбирайте соответствующий перпендикуляр или прямую через центр и обязательно откладывайте равные расстояния.

Разбор задач

1. Образ точки относительно центра

Задача. Постройте точку A′, симметричную заданной точке A относительно точки O. Нужно расположить A′ так, чтобы центр стал серединой отрезка между точкой и её образом. Это условие сразу подсказывает и направление, и расстояние построения.

1. Проведите прямую AO: обе точки A и A′ должны лежать на ней вместе с центром.
2. Продолжите прямую за O, то есть в сторону, противоположную точке A.
3. Циркулем отложите от O отрезок OA′, равный OA. Проверка: O находится между A и A′, а OA = OA′.

Ответ: точка A′ на продолжении AO за O, для которой OA′ = OA.

2. Образ точки относительно прямой

Задача. Постройте точку, симметричную A относительно прямой l, и проверьте построение. Здесь сначала надо найти направление отрезка AA′: он должен идти под прямым углом к оси. Затем ось должна разделить его пополам.

1. Из точки A опустите перпендикуляр к l и обозначьте основание перпендикуляра H.
2. Продолжите AH за прямую l и отметьте на продолжении A′ так, чтобы HA′ = HA.
3. Проверьте, что l перпендикулярна AA′ и проходит через его середину H. Если оба условия выполнены, построение верно.

Ответ: точка A′, расположенная на перпендикуляре к l по другую сторону от неё на расстоянии HA от l.

3. Образ треугольной пирамиды относительно плоскости

Задача. Дана треугольная пирамида и плоскость α. Постройте фигуру, симметричную пирамиде относительно α, и обоснуйте равенство фигур. Пирамида определяется четырьмя вершинами, поэтому достаточно построить образы всех вершин и соединить их так же, как в исходной фигуре.

1. Для каждой вершины проведите перпендикуляр к α. Точка пересечения с плоскостью должна быть серединой отрезка от вершины до её образа.
2. На продолжении каждого перпендикуляра по другую сторону α отложите отрезок, равный расстоянию от исходной вершины до плоскости. Полученные точки обозначьте как образы вершин.
3. Соедините образы рёбер в том же порядке, что и в исходной пирамиде. Каждое расстояние между парой вершин сохраняется при симметрии, поэтому соответствующие рёбра равны.

Ответ: пирамида с вершинами-образами исходных вершин; она равна исходной, поскольку симметрия сохраняет расстояния.

Типичные ошибки

При центральной симметрии иногда откладывают равные отрезки от центра в одну и ту же сторону. Так получается не образ точки, потому что центр не находится между исходной точкой и построенной. Проверьте построение: A, O и A′ должны лежать на одной прямой, а O — быть серединой AA′.

При осевой симметрии могут соединить точку с образом наклонным отрезком. Ошибка возникает, если забыть, что кратчайшее расстояние от точки до прямой задаёт перпендикуляр. Для самопроверки опустите перпендикуляр к оси: его основание должно быть серединой AA′, а ось — перпендикулярна этому отрезку.

При отражении относительно плоскости бывает, что проводят через неё произвольный отрезок и откладывают части на глаз. Но одного пересечения с плоскостью недостаточно: она должна быть перпендикулярна AA′ и делить его пополам. Проверьте оба условия, измерив равенство частей и убедившись в перпендикулярности.

Ещё одна ошибка — считать, что после симметрии фигура становится больше или меньше. Так думают, когда образ построен неточно или сравнивают положение, а не размеры. Сопоставьте длины соответствующих рёбер и расстояния между парами образующих точек: они должны сохраниться, значит, исходная фигура и образ равны.

Связь с другими темами

Для построений нужны знакомые понятия: середина отрезка, перпендикулярность прямых, а также перпендикулярность прямой и плоскости. Важно уметь проводить перпендикуляр из точки к прямой или плоскости и откладывать равные отрезки. Симметрия затем помогает анализировать правильные многогранники: находить их оси и плоскости симметрии, сравнивать элементы и понимать расположение вершин, рёбер и граней в пространстве.

Что запомнить

• При центральной симметрии центр — середина отрезка, соединяющего точку с образом.
• При симметрии относительно прямой ось — серединный перпендикуляр к отрезку между точкой и образом.
• При симметрии относительно плоскости плоскость перпендикулярна этому отрезку и проходит через его середину.
• Точки центра, оси или плоскости остаются на месте при соответствующей симметрии.
• Симметрия сохраняет расстояния и переводит фигуру в равную ей фигуру.
• Фигура симметрична относительно заданного объекта, если после преобразования совпадает сама с собой.