"Геометрия (базовый и углубленный уровень). 10-11 классы", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Симметрия в пространстве — это преобразование, которое переводит точки в новые положения по определённому правилу. Её задают центром, прямой-осью или плоскостью. Чтобы построить образ точки, нужно знать, как расположен относительно неё задающий элемент: например, центр становится серединой отрезка до образа, а плоскость — перпендикулярной серединой такого отрезка. Симметрия сохраняет расстояния и форму, поэтому помогает строить фигуры и распознавать свойства пространственных тел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Центральная симметрия с центром O сопоставляет каждой точке A точку A′ так, что O — середина AA′. Иначе говоря, точки A и A′ лежат на одной прямой по разные стороны от O и одинаково удалены от него. Это правило позволяет однозначно построить образ точки и понять, где окажется вся фигура.
Осевая симметрия в пространстве — преобразование, при котором точки поворачиваются на 180° вокруг заданной прямой l, называемой осью. Точки оси остаются на месте, а остальные перемещаются вокруг неё. Такое определение важно отличать от отражения относительно прямой на плоскости: в пространстве ось задаёт именно поворот.
Симметрия относительно плоскости — отражение, при котором плоскость α является серединным перпендикуляром к отрезку AA′, соединяющему точку с её образом. Значит, AA′ перпендикулярен α, а середина AA′ лежит в этой плоскости. Это правило помогает найти образ точки с любой стороны плоскости.
Фигура симметрична относительно центра, оси или плоскости, если при соответствующем преобразовании переходит сама в себя. Это означает, что после преобразования её образ полностью совпадает с исходной фигурой, хотя отдельные точки могут поменять положение. Понятие нужно, чтобы описывать устройство фигур и проверять, обладает ли объект симметрией.
При центральной симметрии образ точки A ищут на прямой AO. Центр должен оказаться ровно посередине между A и A′, поэтому сначала проводят эту прямую, затем на противоположной стороне от O откладывают отрезок той же длины, что OA. Если отложить его не в противоположном направлении, O не станет серединой и условие симметрии нарушится. Точка O при этом не меняет положения.
Осевая симметрия в пространстве соответствует повороту на 180° вокруг оси l. Для точки A вне оси опустите перпендикуляр AH на l; при повороте точка окажется на другой стороне оси, а H останется серединой AA′. Это происходит потому, что поворот на пол-оборота меняет направление перпендикуляра на противоположное, не меняя расстояния до оси. Любая точка самой оси при таком повороте остаётся неподвижной.
Чтобы отразить точку A относительно плоскости α, проведите через неё перпендикуляр к α. На этом перпендикуляре по другую сторону плоскости отметьте A′ так, чтобы расстояние от A′ до α равнялось расстоянию от A до α. Перпендикулярность нужна потому, что кратчайшее расстояние от точки до плоскости измеряется именно по перпендикуляру. Тогда α проходит через середину AA′ и является его серединным перпендикуляром.
Каждое из трёх преобразований сохраняет расстояния между точками. При повороте или отражении взаимное расположение точек не растягивается и не сжимается, поэтому соответствующие отрезки остаются равными, а углы и форма фигуры сохраняются. Значит, образ треугольника будет равен исходному треугольнику, хотя может располагаться в другой части пространства. Это свойство позволяет доказывать равенство фигур, не сравнивая их положения.
Чтобы проверить симметрию фигуры, примените к её точкам преобразование, заданное центром, осью или плоскостью. Затем сравните полученный образ с исходной фигурой: они должны совпасть целиком, а не только иметь одинаковую форму или размер. Для многогранника удобно проследить, куда переходят вершины, и проверить, что все образованные вершины принадлежат той же фигуре. Если хотя бы часть образа оказывается вне неё, симметрии нет.
Таблица сопоставляет три вида симметрии по задающему элементу, правилу построения образа и неподвижным точкам. Пользуйтесь строкой «Как построить образ точки», когда выполняете чертёж, а строкой «Неподвижные точки» — когда проверяете расположение фигуры. Общий признак всех преобразований в последней строке помогает обосновать равенство длин.
| Характеристика | Центральная симметрия | Осевая симметрия | Симметрия относительно плоскости |
|---|---|---|---|
| Задающий элемент | Точка — центр O | Прямая — ось l | Плоскость α |
| Как связаны точка и её образ | O — середина отрезка между точкой и образом | Поворот на 180° вокруг оси; ось перпендикулярна отрезку через его середину | Отрезок между точкой и образом перпендикулярен плоскости, которая делит его пополам |
| Неподвижные точки | Центр O | Все точки оси l | Все точки плоскости α |
| Как построить образ точки | Продолжить прямую через O и точку, отложить равный отрезок за O | Опустить перпендикуляр на ось и отложить равный отрезок за её основанием | Провести перпендикуляр к плоскости и отложить равный отрезок за плоскостью |
| Сохраняется ли расстояние | Да | Да | Да |
Задача 1. Дан отрезок AB и точка O. Постройте отрезок, симметричный AB относительно O. Образом отрезка будет отрезок A′B′, где A′ и B′ — образы его концов. Каждый образ строится отдельно, поскольку центр должен быть серединой соответствующего отрезка.
Ответ: искомый отрезок — A′B′. Построение верно, потому что центр является серединой отрезков, соединяющих концы исходного отрезка с их образами. Сам отрезок при преобразовании переходит в отрезок.
Задача 2. Даны прямая l и точка A вне неё. Постройте точку, симметричную A относительно оси l. Сначала нужно определить, где образ будет находиться относительно оси: при повороте на пол-оборота он окажется на противоположной стороне. Перпендикуляр к оси задаёт направление перемещения.
Ответ: точка A′ — образ A при симметрии относительно l. Поворот на 180° вокруг оси оставляет H на месте и переносит A на противоположную сторону на то же расстояние. Точки, лежащие на оси, при этом не сдвигаются.
Задача 3. Даны плоскость α и треугольник ABC, вершины которого не лежат в α. Постройте симметричный ему треугольник и обоснуйте равенство треугольников. Поскольку при отражении каждая вершина переходит в свою точку, образ треугольника нужно строить по вершинам. Сохранение расстояний позволит сравнить стороны исходной и полученной фигур.
Ответ: искомый треугольник — A′B′C′, он равен ABC по трём сторонам. Равенство следует из того, что отражение сохраняет расстояния между соответствующими вершинами. Поэтому совпадают не только длины сторон, но и форма треугольников.
При центральной симметрии иногда откладывают от центра отрезок нужной длины, но в том же направлении, где расположена исходная точка. Так происходит, если помнить только о равенстве расстояний и забыть, что центр должен лежать между точкой и образом. Проверьте себя: точки должны быть на одной прямой по разные стороны от центра, а центр — серединой отрезка.
Ось в пространстве можно ошибочно принять за прямую, относительно которой выполняют обычное плоское отражение. Такая путаница возникает из-за привычного смысла слова «осевая», но в пространстве заданная прямая является осью поворота на 180°. Проверьте построение: основание перпендикуляра от точки к оси должно делить отрезок до образа пополам.
При отражении относительно плоскости отрезок от точки к образу иногда проводят наклонно. Тогда плоскость не перпендикулярна этому отрезку и не может быть его серединным перпендикуляром. Чтобы проверить чертёж, убедитесь, что отрезок к образу проведён по перпендикуляру к плоскости, а расстояния от обеих точек до неё равны.
Ещё одна ошибка — считать, что симметрия оставляет на месте каждую точку фигуры. Это неверно: неподвижны только точки задающего центра, оси или плоскости, а остальные обычно переходят в другие точки. Проверьте, о каком преобразовании идёт речь, и назовите его неподвижные точки: центр, вся ось или вся плоскость.
Для построений понадобятся понятия середины отрезка и перпендикулярности прямой и плоскости. Равенство отрезков и признаки равенства треугольников помогают обосновывать, что после симметрии сохраняются длины и форма. Поэтому полезно уверенно пользоваться этими геометрическими фактами.
Симметрия помогает описывать пространственные тела: например, замечать, как части призмы или цилиндра расположены относительно центра, оси или плоскости. У разных тел свои особенности, поэтому наличие симметрии нужно проверять по их форме. Такой подход помогает точнее распознавать свойства фигуры.
Понятия симметрии пригодятся при изучении преобразований пространства и решении задач на построение. Они также дают способ обосновывать равенство фигур, которые расположены по-разному. Вместо сравнения чертежей можно показать, что одна фигура получается из другой преобразованием, сохраняющим расстояния.
Чем центральная симметрия в пространстве отличается от симметрии относительно плоскости?
При центральной симметрии задана точка O, и она является серединой отрезка между точкой и её образом. При отражении относительно плоскости задана плоскость: она перпендикулярна этому отрезку и проходит через его середину. В первом случае неподвижен центр, во втором — все точки плоскости.
Как построить точку, симметричную данной относительно прямой?
Опустите из данной точки перпендикуляр на прямую и обозначьте его основание H. На продолжении этого перпендикуляра за H отложите отрезок такой же длины, как от исходной точки до H. Полученная точка будет образом: прямая проходит через середину отрезка между точками и перпендикулярна ему.
Почему осевая симметрия в пространстве является поворотом на 180°?
При повороте на 180° вокруг оси каждая точка вне оси оказывается на противоположной стороне от неё, на том же расстоянии. Перпендикуляр от точки к оси соединяет её с образом, а основание перпендикуляра становится серединой этого отрезка. Точки самой оси при повороте не перемещаются.
Какие точки остаются неподвижными при каждом виде симметрии?
При центральной симметрии на месте остаётся центр. При осевой симметрии неподвижны все точки оси, а при отражении относительно плоскости — все точки этой плоскости. Остальные точки обычно переходят в другие положения.
Как проверить, симметрична ли пространственная фигура относительно заданной плоскости?
Постройте отражения точек фигуры относительно плоскости, прежде всего её вершин и характерных точек. Затем проверьте, совпадает ли множество полученных точек с исходной фигурой. Для многогранника достаточно установить, что его грани и вершины переходят в грани и вершины той же фигуры.
35. Симметрия в пространстве
