§ 3. Правильные многогранники

Определения и обозначения

Правильный многогранник — это выпуклый многогранник, все грани которого являются равными правильными многоугольниками, а в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Выпуклым называют тело, у которого отрезок между любыми двумя его точками целиком лежит внутри тела. Условия о гранях и вершинах нужны вместе: они задают одинаковое устройство фигуры вокруг каждой её вершины.

Правильный тетраэдр состоит из четырёх равных граней — правильных треугольников. Такие треугольники называют равносторонними: все их стороны и углы равны. Тетраэдр — простейший из правильных многогранников, и его вершины образуют четыре угла.

Правильный октаэдр имеет восемь равных правильных треугольных граней. В отличие от тетраэдра, в каждой его вершине сходятся четыре грани. Знание числа и формы граней помогает распознать октаэдр среди других правильных тел.

У правильного додекаэдра 12 правильных пятиугольных граней, а у правильного икосаэдра — 20 правильных треугольных. Пятый вид — куб, его грани являются квадратами. Эти названия и формы граней понадобятся, чтобы сверять результаты подсчётов с перечнем всех возможных правильных многогранников.

Как это устроено

В вершине многогранника должны сходиться хотя бы три грани: две грани образовали бы только угол между плоскостями, но не замкнули бы вершину в пространстве. При этом сумма плоских углов граней вокруг вершины должна быть строго меньше 360°. Если сумма равна 360°, поверхность в этом месте распрямляется, а если больше — выпуклая вершина не складывается.

Пусть грань — правильный p-угольник, а в каждой вершине сходится q таких граней. Внутренний угол правильного p-угольника равен 180°(p − 2)/p, поэтому сумма углов при вершине равна q · 180°(p − 2)/p. Требование, чтобы она была меньше 360°, после деления на 180° даёт неравенство q(p − 2)/p < 2. Здесь p и q — целые числа, причём p ≥ 3 и q ≥ 3.

Перебирая целые p и q, удовлетворяющие этому условию, получаем всего пять сочетаний: (p, q) = (3, 3), (4, 3), (3, 4), (5, 3), (3, 5). Они соответствуют тетраэдру, кубу, октаэдру, додекаэдру и икосаэдру. Для других правильных многоугольников или числа граней при вершине угловое условие нарушается, поэтому выпуклое правильное тело построить нельзя.

Обозначим число вершин через V, число рёбер через E, а число граней через F. Каждое ребро является стороной двух соседних граней, а не только одной, поэтому при подсчёте по граням каждое ребро учитывается два раза. Для любого выпуклого многогранника также выполняется формула Эйлера V − E + F = 2, которая связывает три числа элементов.

Если каждая грань имеет p сторон, то всего при подсчёте сторон всех граней получается pF. Поскольку каждое ребро встречается в этом подсчёте дважды, pF = 2E, откуда E = pF/2. Найдя рёбра, можно определить вершины по формуле Эйлера: V = 2 + E − F. Например, эти два равенства позволяют заполнить таблицу элементов, зная форму грани и число граней.

Пять правильных многогранников и их элементы

Используйте столбцы с формой грани и числом граней, чтобы определить вид многогранника. Затем число рёбер можно проверить равенством pF = 2E, а число вершин — формулой Эйлера. Сверка обоих результатов с таблицей помогает заметить ошибку в подсчётах.

Разбор задач

Задача 1. У правильного многогранника 8 треугольных граней. Определите его вид и число вершин. Сначала учтём и форму грани, и их количество: равносторонние треугольники встречаются у нескольких тел, но восемь таких граней — у октаэдра. Для проверки можно применить формулы подсчёта элементов.

1. Сопоставляем данные с перечнем пяти правильных многогранников: 8 треугольных граней имеет октаэдр.
2. У каждой грани 3 стороны, поэтому E = 3 · 8/2 = 12.
3. По формуле Эйлера V = 2 + E − F = 2 + 12 − 8 = 6.

Ответ: октаэдр, 6 вершин. Подстановка числа рёбер и граней в формулу Эйлера подтверждает результат таблицы.

Задача 2. У правильного многогранника каждая грань — квадрат, а в каждой вершине сходятся три грани. Определите число граней, рёбер и вершин. Квадратные грани у правильного многогранника бывают у куба, поэтому сперва узнаём вид тела, а потом проверяем его элементы вычислениями. Проверка полезна, чтобы не полагаться только на узнавание фигуры.

1. Распознаём куб: у него квадратные грани, и в каждой вершине сходятся три грани.
2. У куба F = 6; тогда E = 4F/2 = 4 · 6/2 = 12, так как каждая грань имеет 4 стороны.
3. По формуле Эйлера V = 2 + E − F = 2 + 12 − 6 = 8.

Ответ: 6 граней, 12 рёбер, 8 вершин. В частности, подсчёт рёбер учитывает, что каждая сторона принадлежит двум граням.

Задача 3. Докажите, что правильный многогранник с правильными шестиугольными гранями существовать не может. Вершина выпуклого многогранника должна быть образована как минимум тремя гранями. Поэтому достаточно проверить сумму углов даже у минимального возможного числа правильных шестиугольных граней.

1. Внутренний угол правильного шестиугольника равен 180°(6 − 2)/6 = 120°.
2. В вершине должны сходиться не менее трёх граней, поэтому сумма их углов была бы не меньше 3 · 120° = 360°.
3. Для выпуклой вершины сумма должна быть строго меньше 360°, значит, условие не выполняется.

Ответ: такой правильный многогранник существовать не может. При равенстве 360° вершина не образует выпуклый пространственный угол.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что для правильного многогранника достаточно одинаковых правильных граней. Так можно забыть условие о равном числе граней при каждой вершине, потому что внимание сосредоточено на форме поверхности. Проверьте отдельно, сколько граней сходится у каждой вершины и одинаково ли это число.

Вторая ошибка — допускать сумму углов при вершине, равную 360°. Равенство кажется подходящим, потому что оно не превышает 360°, однако выпуклая вершина требует строгого неравенства. Для проверки сложите углы всех граней при вершине и убедитесь, что результат именно меньше 360°.

Третья ошибка — считать каждое ребро принадлежащим только одной грани. Так происходит, если просто перечислять стороны каждой грани, не учитывая соседнюю грань; из-за этого число рёбер получается вдвое больше правильного. Проверьте подсчёт равенством pF = 2E: сумма сторон всех граней должна быть вдвое больше E.

Четвёртая ошибка — путать число граней с числом вершин или неверно переставлять слагаемые в формуле Эйлера. При подсчёте легко принять знакомый элемент за нужный, а при преобразовании потерять знак. Запишите V − E + F = 2 и найдите V как 2 + E − F, затем подставьте результаты и проверьте равенство.

Связь с другими темами

Чтобы проверять, может ли многоугольник быть гранью правильного многогранника, нужно знать свойства правильных многоугольников, в частности формулу внутреннего угла: 180°(p − 2)/p. В теме также используются понятия грани, ребра и вершины, а для подсчётов — формула Эйлера для выпуклых многогранников. Эти знания пригодятся дальше при изучении площадей и объёмов многогранников, а также при решении задач о пространственных фигурах.

Что запомнить

• Правильный многогранник выпуклый; все его грани — равные правильные многоугольники.
• В каждой вершине правильного многогранника сходится одно и то же число граней.
• Сумма плоских углов при каждой вершине меньше 360°.
• Существует ровно пять правильных многогранников.
• Каждое ребро принадлежит двум граням.
• Для выпуклого многогранника V − E + F = 2.