"Математика. 10 класс. (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Правильные многогранники — выпуклые тела, грани которых являются одинаковыми правильными многоугольниками, а вокруг каждой вершины они расположены одинаково. Их изучение показывает, как форма грани и число сходящихся граней ограничивают устройство всего тела. Таких многогранников ровно пять: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Для решения задач о них важно проверять углы при вершинах и пользоваться формулой Эйлера, связывающей число вершин, рёбер и граней.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильный многогранник — выпуклый многогранник, все грани которого являются равными правильными многоугольниками и в каждой вершине сходится одно и то же число граней. Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы, а выпуклость означает, что тело не имеет вогнутых частей. Поэтому для правильности недостаточно, чтобы грани просто совпадали по форме и размеру. Определение задаёт сразу и форму поверхности, и её одинаковое устройство вокруг каждой вершины.
Правильный тетраэдр — многогранник из четырёх равных правильных треугольников; в каждой вершине сходятся три грани. Тетраэдр имеет четыре вершины и шесть рёбер, а его грани образуют замкнутое тело. Это простейший пример правильного многогранника и удобная модель для знакомства с тем, как грани встречаются в вершине. Условие о трёх гранях помогает отличить его от других тел с треугольными гранями.
Платоновы тела — пять выпуклых правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Название объединяет все возможные тела, удовлетворяющие определению правильного многогранника, а не только знакомые фигуры вроде куба. Каждое из пяти тел отличается формой грани и числом граней, сходящихся у вершины. Этот перечень пригодится для распознавания многогранника по его граням и устройству вершин.
Формула Эйлера для выпуклого многогранника связывает число вершин V, рёбер E и граней F равенством V − E + F = 2. Буквы обозначают именно количество соответствующих элементов всего тела, а не одной грани. Если известны два числа, равенство позволяет найти третье. Оно также служит проверкой подсчётов, хотя само по себе не доказывает, что многогранник правильный.
Равенства граней недостаточно, потому что одинаковые многоугольники можно соединить вокруг вершин по-разному. В одном месте могут встретиться три грани, а в другом — четыре, и тогда устройство поверхности не будет одинаковым. У правильного многогранника число сходящихся граней и порядок их расположения у каждой вершины совпадают. Это условие делает симметричным не только каждый отдельный элемент, но и всё тело.
Чтобы грани окружили вершину и образовали выпуклое тело, сумма их плоских углов должна быть меньше 360°. Плоский угол — угол многоугольной грани при вершине, измеряемый на поверхности этой грани. Если углы сложить до 360°, они разложатся в одну плоскость, и вершина не будет выпуклой. При сумме больше 360° грани перекроются, поэтому выпукло замкнуть поверхность также не получится.
Обозначим через n число сторон правильной грани, а через q — число граней, сходящихся в вершине. Внутренний угол правильного n-угольника равен 180°(n − 2)/n, поэтому необходимое условие имеет вид q · 180°(n − 2)/n < 360°. Здесь n и q — целые числа не меньше трёх: грань должна иметь хотя бы три стороны, а у вершины должны встретиться хотя бы три грани. Равенство или превышение 360° не подходит, так что допустимы только сочетания, удовлетворяющие строгому неравенству.
Проверка неравенства оставляет пять вариантов: (n, q) равны (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3) или (5, 3). Это следует из того, что при увеличении числа сторон угол правильной грани растёт, а значит, вокруг вершины помещается всё меньше таких углов. Сочетания соответствуют тетраэдру, октаэдру, икосаэдру, кубу и додекаэдру. Другие правильные многоугольники или большее число граней у вершины уже нарушают угловое условие.
Формула Эйлера V − E + F = 2 позволяет проверить подсчёт элементов выпуклого многогранника. Например, для тела с шестью гранями и двенадцатью рёбрами получаем V − 12 + 6 = 2, откуда V = 8. Чтобы применять равенство без путаницы, сначала обозначают отдельные количества буквами V, E и F. Формула верна для выпуклых многогранников, но не является проверкой правильности их граней или вершин.
| Многогранник | Форма грани | Граней F | Рёбер E | Вершин V | Граней у вершины |
|---|---|---|---|---|---|
| Правильный тетраэдр | Правильный треугольник | 4 | 6 | 4 | 3 |
| Куб (гексаэдр) | Квадрат | 6 | 12 | 8 | 3 |
| Правильный октаэдр | Правильный треугольник | 8 | 12 | 6 | 4 |
| Правильный додекаэдр | Правильный пятиугольник | 12 | 30 | 20 | 3 |
| Правильный икосаэдр | Правильный треугольник | 20 | 30 | 12 | 5 |
Если известна форма грани, найдите в таблице подходящий многогранник, а затем прочитайте остальные характеристики в той же строке. Треугольные грани встречаются у трёх разных тел, поэтому дополнительно нужно знать число граней или число граней у вершины. Для проверки чисел подставьте V, E и F в формулу Эйлера.
Задача 1. У правильного многогранника 6 граней и 12 рёбер. Сколько у него вершин? Нужно найти V, поэтому используем формулу Эйлера для выпуклого многогранника. Важно сохранить значения обозначений: F = 6, E = 12. Преобразуем равенство, оставив число вершин отдельно.
Ответ: 8 вершин. По одной формуле можно найти недостающее число элементов, если два других уже известны. Полученный результат проверяют обратной подстановкой в исходное равенство.
Задача 2. У правильного многогранника грани — квадраты. Определить, какой это многогранник, и указать число его вершин, рёбер и граней. Среди пяти Платоновых тел квадратные грани есть только у куба. Чтобы получить числа, найдём его характеристики в таблице и проверим их формулой Эйлера.
Ответ: куб; 8 вершин, 12 рёбер и 6 граней. Одна лишь форма грани в этом случае позволяет узнать тело, потому что квадратные грани есть только у одного из пяти правильных многогранников. Проверка по формуле подтверждает согласованность подсчитанных элементов.
Задача 3. Может ли выпуклый правильный многогранник состоять из правильных шестиугольников, если в каждой вершине сходятся три грани? Для ответа не нужно строить модель: достаточно проверить сумму углов граней при вершине. Если она не меньше 360°, выпуклое замыкание невозможно.
Ответ: нет, не может. Проверяя подобные варианты, сравнивайте с 360° именно сумму углов всех граней, сходящихся в одной вершине. Даже равенство этому числу не подходит: условие должно быть строгим.
Считать правильным любое тело с равными гранями. Равные грани могут быть неправильными многоугольниками, а у разных вершин может различаться число сходящихся граней. Так ошибаются, проверяя только равенство размеров граней. Уточните, что каждая грань правильная и что устройство всех вершин одинаково.
Путать число рёбер с числом сторон одной грани. Стороны одной грани — лишь часть рёбер всего тела, и каждое ребро является общей стороной двух граней. Путаница возникает, когда подсчёт начинают с одного многоугольника и переносят его число сторон на весь многогранник. Проверьте, спрашивают ли об одной грани или обо всём теле.
Допускать любое число граней у вершины. Грани должны окружить вершину, поэтому сумма их плоских углов обязана быть строго меньше 360°. Иногда считают, что достаточно взять хотя бы три грани, не проверив величину углов. Найдите угол одной грани и умножьте на число сходящихся граней; сумма 360° или больше означает, что вариант не подходит.
Неверно подставлять данные в формулу Эйлера. В равенстве V − E + F = 2 буква V означает вершины, E — рёбра, F — грани. Ошибку допускают, если запоминают порядок символов неточно или заменяют числами не те элементы. Перед вычислением подпишите каждое данное обозначением и после решения проверьте равенство подстановкой.
Для изучения темы нужны определения многогранника, грани, ребра и вершины, а также свойства правильных многоугольников и формулы их углов. Формула Эйлера связывает подсчёт элементов с изучением выпуклых многогранников и помогает проверять ответы в задачах. Представление о правильных многогранниках пригодится дальше, когда будут изучаться площади их поверхностей и объёмы тел.
Чем правильный многогранник отличается от просто многогранника с равными гранями?
У правильного многогранника грани не только равны, но и являются правильными многоугольниками. Кроме того, в каждой вершине сходится одно и то же число граней, расположенных одинаково.
Почему существует ровно пять правильных многогранников?
Угол каждой грани при вершине должен складываться с другими такими углами в сумму меньше 360°. Проверка этого условия для правильных многоугольников оставляет только пять сочетаний числа сторон грани и числа граней у вершины.
Почему сумма углов граней при вершине должна быть меньше 360°?
Если сумма равна 360°, грани распрямятся в одну плоскость и не образуют выпуклый угол тела. Если она больше 360°, грани не смогут окружить вершину выпукло. Поэтому необходима сумма строго меньше 360°.
Как по числу граней и рёбер найти число вершин?
Используйте формулу Эйлера V − E + F = 2, где V — число вершин, E — рёбер, F — граней. Выразите неизвестное: V = 2 + E − F.
Почему ребро учитывается в двух гранях?
Ребро — общая сторона двух соседних граней выпуклого многогранника. Поэтому при подсчёте всех сторон граней каждое ребро встречается дважды.
§ 50. Правильные многогранники
