"Математика. 10 класс. (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Многогранник — тело, ограниченное замкнутой поверхностью из многоугольников. Чтобы назвать его выпуклым, недостаточно проверить каждую грань: нужно убедиться, что отрезок между любыми двумя точками тела целиком остаётся внутри него. Разобравшись, где находятся грани, рёбра и вершины, можно описать строение многогранника числами. Для выпуклого многогранника эти числа связаны формулой Эйлера: V − E + F = 2.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многогранной называют поверхность, составленную из конечного числа плоских многоугольников, соединённых сторонами. Если такая поверхность замкнута, она ограничивает пространственное тело — многогранник. Это определение помогает отличить тело от его поверхности: поверхность образуют многоугольники, а многогранник включает и внутреннюю область.
Многогранник называется выпуклым, если для любых двух его точек весь соединяющий их отрезок принадлежит этому телу. Иначе говоря, отрезок не должен выходить наружу даже на небольшом участке. Это условие нужно, чтобы точно отделить тела без вогнутых частей от невыпуклых.
Грань многогранника — многоугольник, входящий в состав его поверхности. Например, у куба гранями являются шесть квадратов. Грани позволяют описывать, из каких плоских частей складывается поверхность тела.
Рёбра многогранника — стороны его граней, а вершины — концы рёбер. У куба ребро — сторона квадрата, а вершина — точка, где сходятся рёбра. Эти определения нужны, чтобы не путать целую грань с её стороной и угловой точкой.
Чтобы получить многогранную поверхность, многоугольники соединяют сторонами так, чтобы края не оставались открытыми: каждая сторона становится общей для соседних многоугольников. Тогда они образуют замкнутую оболочку, которая ограничивает тело. Если часть сторон не соединить, получится поверхность с краем, а не замкнутый многогранник.
Выпуклость проверяют не по виду отдельных граней, а по точкам всего тела. У шара и куба отрезок между любыми двумя точками не выходит наружу, поэтому эти тела выпуклы. У тела с вмятиной можно выбрать точки по разные стороны углубления: соединяющий их отрезок частично пройдёт вне тела, значит, оно невыпукло. Проверка отдельных пар не доказывает выпуклость, но один найденный выходящий наружу отрезок сразу показывает, что тело невыпукло.
У каждой грани есть стороны и угловые точки, поэтому в ней есть рёбра и вершины. На замкнутой поверхности у ребра расположены две стороны поверхности, и каждая из них принадлежит своей соседней грани. Поэтому ребро разделяет две грани, а не служит краем только одной из них.
Для описания строения многогранника считают его вершины, рёбра и грани. Число вершин обозначают V, число рёбер — E, число граней — F. Эти числа не указывают форму и размер тела, но помогают сравнивать его структуру и решать задачи на подсчёт элементов.
Для выпуклого многогранника выполняется формула Эйлера: V − E + F = 2. Она связывает три вида элементов, потому что при изменении устройства поверхности их количества не могут быть произвольными. Например, если известны V и E, равенство позволяет найти F; если все грани треугольные, можно дополнительно посчитать рёбра через грани.
| Характеристика | Обозначение или правило |
|---|---|
| Число вершин | V |
| Число рёбер | E |
| Число граней | F |
| Связь между числами элементов | V − E + F = 2 |
| Проверка формулы на примере многогранника | Куб: 8 − 12 + 6 = 2 |
Сначала убедитесь, что многогранник выпуклый, затем определите, какие из чисел V, E и F известны. Подставьте их в формулу и выразите неизвестное; если грани треугольные, используйте также равенство 3F = 2E.
Задача 1. Определить, является ли выпуклым многогранник, изображённый на рисунке, и назвать его грани, рёбра и вершины. Сам рисунок в условии не приведён, поэтому конкретные элементы перечислить нельзя. Разберём, как выполнить проверку по изображению.
Ответ. Без самого рисунка нельзя определить конкретный результат и назвать элементы; примените указанные шаги к изображённому телу.
Задача 2. У выпуклого многогранника 8 вершин и 12 рёбер. Найдите число граней. Используем формулу Эйлера, поскольку условие сообщает, что многогранник выпуклый.
Ответ. У многогранника 6 граней.
Задача 3. У выпуклого многогранника все грани — треугольники, а число вершин равно 6. Найдите число рёбер и граней. Здесь одной формулы Эйлера недостаточно: добавим подсчёт сторон всех треугольных граней.
Ответ. 12 рёбер и 8 граней.
Называть многогранник выпуклым только потому, что все его грани — выпуклые многоугольники, недостаточно: форма целого тела может иметь вмятину. Эту ошибку допускают, когда судят лишь по каждой плоской части отдельно. Проверяйте условие для точек всего тела: отрезок между ними не должен выходить наружу.
Путать грань, ребро и вершину легко, если просто считать линии и точки на рисунке. Грань — многоугольник, ребро — его сторона, вершина — конец ребра. Чтобы проверить себя, проследите каждый элемент: имеет ли он площадь многоугольника, является ли стороной или представляет собой точку соединения.
Иногда считают, что ребро принадлежит только одной грани, потому что на рисунке оно выглядит как граница одного многоугольника. Но поверхность многогранника замкнута, и у ребра есть две соседние грани. Пересчитайте грани по обе стороны ребра: одна сторона поверхности не может быть его единственным соседом.
Формулу Эйлера применяют к любому телу, похожему на многогранник, не проверив выпуклость. Причина — равенство запоминают отдельно от условия, при котором оно действует. Перед вычислениями установите, что многогранник выпуклый; если это не следует из условия, сначала проверьте выпуклость.
Для изучения многогранников нужно знать многоугольники, их стороны и вершины: именно из этих плоских фигур составлена поверхность тела. Навык подсчёта элементов геометрических тел помогает не терять общие рёбра и не учитывать их повторно. Формула Эйлера продолжает эту работу: она связывает подсчитанные вершины, рёбра и грани.
Формула пригодится в задачах, где требуется найти недостающее число элементов многогранника, а также при дальнейшем изучении пространственных тел. В таких задачах важно не только подставить числа, но и проверить, что выполнены условия применения равенства. Дополнительные сведения о форме граней могут дать ещё одно уравнение для решения.
Как отличить выпуклый многогранник от невыпуклого?
Возьмите любые две точки тела и мысленно соедините их отрезком. Если каждый такой отрезок целиком лежит в теле, многогранник выпуклый; если найдётся отрезок, выходящий наружу, он невыпуклый.
Может ли грань выпуклого многогранника быть невыпуклым многоугольником?
Нет. Грань выпуклого многогранника является выпуклым многоугольником. Если бы в грани нашлись две точки, отрезок между которыми выходит за её пределы, это противоречило бы выпуклости всего тела.
Почему каждое ребро принадлежит двум граням?
Многогранник ограничен замкнутой поверхностью, поэтому у каждого его ребра есть поверхность с обеих сторон. Эти стороны образуют две соседние грани, которые имеют общее ребро.
Что обозначают буквы V, E и F в формуле Эйлера?
V — число вершин, E — число рёбер, F — число граней. Для выпуклого многогранника эти числа связаны равенством V − E + F = 2.
Можно ли применять формулу Эйлера к невыпуклому многограннику?
Формула в рассматриваемом виде сформулирована для выпуклых многогранников, поэтому сначала нужно проверить выпуклость. Для невыпуклого тела нельзя автоматически использовать это равенство без дополнительных условий.
§ 49. Выпуклые многогранники
