§ 48. Многогранные углы

Определения и обозначения

Многогранный угол — часть пространства, ограниченная несколькими плоскими углами с общей вершиной. Представь несколько раскрытых веером углов, вершины которых совпали: вместе они задают пространственную фигуру. Это понятие нужно, чтобы описывать область около вершины, где сходятся несколько плоскостей.

Грань многогранного угла — плоский угол, входящий в состав его поверхности. Грань ограничена двумя лучами и расположена в плоскости, но сама плоскость целиком гранью не является. Такое различие помогает не путать конечный элемент фигуры с бесконечной плоскостью.

Ребро многогранного угла — луч, являющийся общей стороной двух соседних граней. Его начало совпадает с общей вершиной, а продолжение не ограничено, поэтому ребро нельзя считать отрезком. По рёбрам удобно определять, какие грани соприкасаются.

Трёхгранный угол — многогранный угол, имеющий три грани и три ребра. Его образуют три плоских угла с одной вершиной, расположенные вокруг неё последовательно. Это самый простой частный случай многогранного угла, который удобно использовать для знакомства с обозначениями.

Как это устроено

Чтобы получить многогранный угол, берут несколько плоских углов и совмещают их вершины. Их стороны становятся лучами, выходящими из одной точки, а сами углы располагаются вокруг этой точки в определённом порядке. Если углы не соприкасаются сторонами последовательно, граница единой фигуры не складывается: поэтому важны общая вершина и соседство лучей.

Каждый луч, кроме общего порядка расположения, служит границей двух углов: одного с каждой стороны. Именно поэтому он принадлежит двум соседним граням и называется ребром. Если бы луч граничил только с одной гранью, поверхность оставалась бы незамкнутой по этому месту; а для многогранного угла грани должны идти вокруг вершины непрерывно.

Грани и рёбра можно пересчитать по кругу. При n лучах соседние пары образуют n плоских углов, включая пару из последнего и первого лучей; значит, получается n граней и n рёбер. Поэтому число граней всегда равно числу рёбер, а число плоских углов, образующих многогранный угол, совпадает с числом граней.

Для обозначения сначала называют вершину, а затем указывают лучи, между которыми рассматривают угол. Например, если вершина — S, а рёбра — SA, SB и SC, то грани записывают как ∠ASB, ∠BSC и ∠CSA. Порядок букв показывает, какие соседние лучи образуют каждую грань; при записи важно не пропустить угол между последним и первым лучами.

Плоский угол образован двумя лучами в одной плоскости, а двугранный — двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. У многогранного угла граней больше двух, и все они сходятся в одной вершине. Поэтому его нельзя свести к одной плоскости или описать только парой полуплоскостей: он показывает, как устроено пространство сразу вокруг нескольких лучей.

Элементы и характеристики многогранного угла

Сначала найди общую вершину и выпиши лучи вокруг неё по порядку. Затем для каждой пары соседних лучей выдели грань, а каждый луч отметь как ребро между двумя соседними гранями. Таблица помогает сверить названия элементов и быстро проверить, не потерян ли последний участок при подсчёте.

Разбор задач

На рисунке изображён многогранный угол с четырьмя лучами, выходящими из общей вершины. Назвать его грани и определить их число.

1. Обозначим общую вершину O, а лучи — OA, OB, OC и OD, перечислив их по порядку вокруг неё. Это помогает сразу увидеть соседние пары и не принять несоседние лучи за границы одной грани. Каждая пара соседних лучей задаёт плоский угол.

2. Запишем пары по кругу: OA и OB, OB и OC, OC и OD, OD и OA. Им соответствуют грани ∠AOB, ∠BOC, ∠COD и ∠DOA. Последняя грань возникает из пары последнего и первого лучей.

3. Пересчитаем полученные углы: их четыре. По числу граней также можно проверить, что у фигуры четыре ребра. Ответ: грани — ∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOA; всего 4 грани.

Дан трёхгранный угол SABC с рёбрами SA, SB и SC. Назвать его грани и указать, какие рёбра являются общими для соседних граней.

1. Вершина угла — S, а три луча выходят из неё к точкам A, B и C. Перечислим соседние пары лучей по кругу: SA и SB, SB и SC, SC и SA. Каждая пара задаёт одну грань.

2. Запишем соответствующие плоские углы: ∠ASB, ∠BSC и ∠CSA. Соседние грани ∠ASB и ∠BSC имеют общее ребро SB, а ∠BSC и ∠CSA — SC. Грани ∠CSA и ∠ASB соседствуют по ребру SA.

3. Проверим, что названы все три луча и каждому соответствует пара соседних граней. Получается три грани и три общих ребра, как и должно быть у трёхгранного угла. Ответ: грани — ∠ASB, ∠BSC, ∠CSA; общие рёбра — SB, SC и SA соответственно для указанных пар.

Многогранный угол имеет пять граней. Сколько у него рёбер и сколько пар соседних граней?

1. Пусть грани расположены по кругу и обозначены G₁, G₂, G₃, G₄, G₅. Между каждой парой соседних граней проходит общее ребро. По циклическому расположению соседями будут пары G₁–G₂, G₂–G₃, G₃–G₄, G₄–G₅ и G₅–G₁.

2. Число рёбер равно числу граней, потому что каждый луч разделяет одну грань и следующую за ней. Значит, при пяти гранях получаем пять рёбер. Считая пары, не забываем замкнуть перечень от последней грани к первой.

3. Каждая грань соседствует ровно с двумя другими, но при подсчёте нельзя умножить пять на два и оставить десять пар: так каждая пара будет посчитана дважды. Число различных соседних пар равно пяти. Ответ: 5 рёбер и 5 пар соседних граней.

Типичные ошибки

Ошибка: называть гранью всю плоскость, в которой лежит плоский угол. Так происходит, потому что в обычной речи «грань» связывают с плоской поверхностью. Проверь себя: грань многогранного угла ограничена двумя лучами, а плоскость продолжается бесконечно.

Ошибка: считать ребро отрезком между вершиной и какой-либо точкой. Ребро многогранного угла — луч, поэтому у него есть начало, но нет конца. Чтобы проверить ответ, обозначь луч стрелкой и убедись, что его начало совпадает с общей вершиной.

Ошибка: считать одну грань соседней со всеми остальными. Такое впечатление возникает, если рассматривать элементы без порядка вокруг вершины. Расположи грани по кругу: у каждой будут ровно две соседние, а не все остальные.

Ошибка: называть многогранным углом любую фигуру, в которой встречаются несколько плоскостей. Здесь забывают, что плоские углы должны иметь общую вершину, а соседние грани — общие рёбра. Проверь, выходят ли все рёбра из одной точки и образуют ли грани непрерывную последовательность вокруг неё.

Связь с другими темами

Для изучения многогранных углов нужны понятия луча, плоского и двугранного углов, а также знания о взаимном расположении прямых и плоскостей. Они позволяют понимать, что именно образует границу каждой грани и как соседние плоские углы соединяются в пространстве. Без этих представлений трудно отличить ребро от отрезка, а грань — от плоскости.

Многогранный угол помогает описывать устройство многогранников: около их вершин сходятся рёбра и грани. В частности, понятие пригодится при изучении тетраэдра и пирамиды, где можно рассматривать фигуру, образованную гранями у одной вершины. Оно также подготавливает к дальнейшему изучению пространственных углов между плоскостями.

Что запомнить

• Многогранный угол образован несколькими плоскими углами с общей вершиной.
• Грани многогранного угла — плоские углы, а не целые плоскости.
• Ребро — общая сторона двух соседних граней.
• Все рёбра многогранного угла имеют общую вершину.
• Число граней многогранного угла равно числу его рёбер.
• Трёхгранный угол имеет три грани и три ребра.