2.4. Многогранные углы

Определения и обозначения

Многогранный угол — фигура, образованная несколькими плоскими углами с общей вершиной, которые расположены в разных плоскостях и последовательно имеют общие стороны. Представь несколько раскрытых веером плоских углов: сторона первого совпадает со стороной второго, сторона второго — со стороной третьего и так далее. Так образуется пространственная фигура, которую удобно использовать, чтобы описывать части многогранника около одной точки.

Вершина многогранного угла — общая вершина всех образующих его плоских углов. Все лучи-стороны, из которых складывается фигура, начинаются в этой точке. Поэтому вершина помогает сразу определить, какие плоские углы относятся к одному многогранному углу.

Ребро многогранного угла — луч, являющийся общей стороной двух соседних плоских углов. Начало этого луча находится в вершине, а сам он разделяет две соседние грани. Понятие ребра нужно, чтобы описывать, как именно части пространственной фигуры соединены между собой.

Грань многогранного угла — плоский угол, образующий часть многогранного угла. Его стороны являются рёбрами фигуры, а вершина совпадает с общей вершиной многогранного угла. Так можно отличить отдельную плоскую часть от всей пространственной фигуры.

Как это устроено

Чтобы представить многогранный угол, начни с общей точки и проведи из неё несколько лучей. Каждая пара соседних лучей образует плоский угол, а соседние плоские углы соединяются общей стороной. Если углы последовательно расположить в разных плоскостях, они уже не складываются в один плоский угол, а расходятся в пространстве и образуют фигуру вокруг общей вершины. Именно поэтому здесь важны не только сами углы, но и то, как они соединены.

У многогранного угла можно выделить три вида элементов: вершину, рёбра и грани. Вершина общая для всех граней; каждое ребро выходит из неё и одновременно принадлежит двум соседним граням. Грань — это плоский угол между парой соседних рёбер. Такая связь помогает проверять описание фигуры: перечислив грани по порядку, можно увидеть их общие рёбра, а все рёбра сходятся в одной вершине.

Соседние грани имеют общее ребро, потому что одна сторона одного плоского угла совпадает со стороной следующего. Но грани при этом не лежат в одной плоскости: иначе все углы оказались бы плоско расположенными и не образовали бы требуемую пространственную фигуру. Общая сторона скрепляет грани, а разные плоскости задают пространственный поворот от одной грани к другой. Поэтому для определения многогранного угла надо проверить оба условия.

На листе бумаги объёмную фигуру приходится показывать плоским чертежом. Сначала отмечают вершину и проводят из неё лучи-рёбра, затем выделяют углы между соседними лучами; по рисунку должно быть понятно, какие грани соединены. Некоторые рёбра могут оказаться за видимой частью фигуры, поэтому их изображают пунктиром или поясняют словами. Такой чертёж условен: он передаёт расположение элементов, но не превращает пространственную фигуру в плоскую.

Многогранный угол называют выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки фигуры, целиком остаётся внутри неё. Для такого угла сумма его плоских углов меньше 360°. Это можно понять, если мысленно рассечь фигуру поперёк всех её рёбер: сечение вокруг вершины образует плоский многоугольник, внутренние углы которого соответствуют плоским углам многогранного угла. Сумма углов такого многоугольника меньше полного оборота, поэтому равенства 360° быть не может.

Элементы многогранного угла

Пользуйся таблицей как проверочным списком: сначала найди общую вершину, потом лучи, выходящие из неё, и плоские углы между соседними лучами. Проверь, что каждое ребро действительно является общей стороной пары соседних граней. Так легче не перепутать луч-ребро с целой гранью.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке дан многогранный угол. Назовите его вершину, рёбра и грани. Буквенные обозначения зависят от рисунка, поэтому сначала важно установить, какие элементы нужно искать, а затем назвать их по обозначениям на чертеже.

1. Найди точку, в которой начинаются все показанные лучи: это общая вершина многогранного угла.
2. Перечисли лучи, выходящие из этой точки. Каждый такой луч, являющийся общей стороной соседних плоских углов, — ребро.
3. Рассмотри пары соседних рёбер и назови плоские углы между ними. Каждый из этих углов является гранью.

Ответ. Вершина — общая точка лучей; рёбра — лучи с началом в этой точке; грани — плоские углы между соседними рёбрами. Для конкретных названий используй буквы, указанные возле элементов на рисунке.

Задача 2. Три плоских угла имеют общую вершину, каждый следующий угол имеет с предыдущим общую сторону, но все углы расположены в одной плоскости. Образуют ли они многогранный угол? Проверим не только наличие общей вершины и общих сторон, но и расположение углов.

1. Общая вершина есть, значит, первое условие выполнено.
2. Соседние углы имеют общие стороны, значит, их можно последовательно соединить.
3. Все углы лежат в одной плоскости. Это противоречит условию, что образующие многогранный угол плоские углы расположены в разных плоскостях.

Ответ. Нет, не образуют. Общей вершины и общих сторон недостаточно: расположение углов в одной плоскости не создаёт пространственную фигуру.

Задача 3. Выпуклый многогранный угол имеет три плоских угла: 80°, 100° и 120°. Может ли такая фигура быть выпуклым многогранным углом? Для проверки используем условие о сумме плоских углов выпуклого многогранного угла.

1. Сложи величины углов: 80° + 100° + 120° = 300°.
2. Сравни результат с 360°: полученная сумма меньше 360°.
3. Условие выпуклости по сумме выполнено, значит, значения углов не противоречат тому, что фигура выпуклая.

Ответ. Да, может: сумма углов равна 300°, а это меньше 360°. Проверка показывает, что условие выпуклости соблюдено.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что любые углы с общей вершиной образуют многогранный угол. Так думают, потому что заметна общая точка, но забывают проверить, соединяются ли углы последовательно общими сторонами и расположены ли они в разных плоскостях. Проверяй все эти условия, а не только наличие одной точки.

Ошибка — называть гранью произвольный участок поверхности между рёбрами. В определении грань многогранного угла — именно плоский угол, а не поверхность или объёмная часть фигуры. Чтобы проверить себя, найди две его стороны-луча и общую вершину: если речь идёт о плоском угле, элемент назван верно.

Ошибка — считать ребро отрезком. На рисунке его видимая часть может выглядеть как короткая линия, поэтому легко забыть, что ребро многогранного угла — луч с началом в общей вершине. Проверь направление: ребро начинается в вершине и продолжается от неё, а не заканчивается на некотором удалении.

Ошибка — допускать, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла равна 360°. Иногда полагают, что условие разрешает равенство, как при полном обороте вокруг точки. Но для выпуклого угла сумма строго меньше 360°: сравни результат сложения с 360° и убедись, что он не равен ему.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в многогранных углах, нужно знать, что такое плоский угол, его вершина и стороны, а также луч и плоскость. Здесь эти понятия используются вместе: плоские углы соединяются в пространстве, а их общие стороны становятся лучами-рёбрами. Тема также опирается на представления о взаимном расположении прямых и плоскостей. Позже многогранные углы помогут описывать вершины многогранников и грани, которые к ним прилегают.

Что запомнить

• Многогранный угол образуют несколько плоских углов с общей вершиной.
• Стороны соседних плоских углов образуют рёбра многогранного угла.
• Плоские углы, образующие многогранный угол, являются его гранями.
• Рёбра многогранного угла — лучи с общей начальной точкой.
• У выпуклого многогранного угла сумма плоских углов меньше 360°.