2.3. Что такое трёхгранный угол

Определения и обозначения

Трёхгранный угол — фигура, образованная тремя плоскими углами с общей вершиной. Общая точка этих углов называется вершиной трёхгранного угла, а их стороны, выходящие из неё, образуют рёбра. Это определение помогает отличить пространственную фигуру от одного угла, который можно начертить на плоскости.

Грань трёхгранного угла — один из трёх плоских углов, образующих фигуру. Каждая грань целиком лежит в своей плоскости и ограничена двумя рёбрами. Слово «грань» здесь обозначает именно угол, а не всю плоскость, поэтому по нему можно определить, какая пара рёбер образует эту часть фигуры.

Ребро трёхгранного угла — луч, который является общей стороной двух его граней. Если вершина обозначена O, а точки A, B и C лежат на лучах, то рёбра можно назвать OA, OB и OC. Указание рёбер нужно, чтобы описать, как расположены грани и какие углы входят в фигуру.

Плоский угол трёхгранного угла — угол между двумя его рёбрами. Таких углов три: по одному для каждой пары из трёх рёбер. Например, для OA, OB и OC это ∠AOB, ∠BOC и ∠COA; перечисление всех трёх не позволяет случайно пропустить одну грань.

Как это устроено

Начнём с трёх лучей, выходящих из одной точки O: OA, OB и OC. Каждые два луча лежат в некоторой плоскости и задают плоский угол: OA и OB — ∠AOB, OB и OC — ∠BOC, OA и OC — ∠COA. Когда лучи направлены в пространстве так, что эти углы образуют три стороны общей пространственной фигуры, вместе они задают трёхгранный угол. Одна общая точка нужна потому, что иначе углы не соединялись бы в единую фигуру.

Почему получаются именно три грани? Грань всегда задаётся парой рёбер, а из трёх рёбер можно выбрать пары OA с OB, OB с OC и OC с OA. Других пар нет, если порядок внутри пары не учитывать, поэтому образуются ровно три плоских угла. Каждое ребро входит в две грани: например, OA является общей стороной ∠AOB и ∠COA. Это помогает проверить, правильно ли вы перечислили части фигуры.

Трёхгранный угол обозначают так, чтобы можно было определить его вершину и все три ребра. Например, запись OABC может использоваться для угла с вершиной O и точками A, B, C на лучах OA, OB, OC; при такой записи точки на рёбрах перечисляют в установленном порядке, обычно обходя фигуру вокруг вершины. Если порядок обозначений в задаче не задан, его смысл должен быть ясен из рисунка или пояснения. Одной буквы O недостаточно: она указывает вершину, но не сообщает, какие именно три луча образуют угол.

На модели или чертеже сначала найдите точку, из которой выходят три луча, а затем проследите каждую пару лучей: между ними должна быть видна плоская грань. Обычный плоский угол имеет только две стороны и сам по себе не показывает третье направление в пространстве. Три пересекающиеся прямые тоже не равны трёхгранному углу: прямые продолжаются в обе стороны, а рёбра фигуры — три выбранных луча; кроме того, важно, какие плоские углы между ними образуют грани.

Части трёхгранного угла

Пользуйся таблицей как проверкой после того, как нашёл фигуру на чертеже. Сначала отметь одну общую вершину, затем посчитай исходящие из неё лучи и пары этих лучей. Если у каждой пары есть своя грань, числа в таблице совпадают с рисунком.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке из точки O выходят лучи OA, OB и OC. Назовите рёбра и грани трёхгранного угла. Чтобы не пропустить грань, нужно не угадывать по внешнему виду рисунка, а последовательно соединить в пары все три луча.

1. Все три луча имеют общую точку O, значит, O — вершина фигуры.
2. Рёбрами являются сами лучи: OA, OB и OC.
3. Составляем пары рёбер. Пара OA и OB задаёт ∠AOB, OB и OC — ∠BOC, OA и OC — ∠COA.

Ответ: рёбра OA, OB, OC; грани ∠AOB, ∠BOC, ∠COA.

Задача 2. Даны три плоских угла с общей вершиной O: ∠AOB, ∠BOC и ∠COA. Укажите трёхгранный угол, который они образуют, и назовите его рёбра. Здесь полезно искать не названия углов целиком, а лучи, которые повторяются в качестве их сторон.

1. В ∠AOB сторонами являются OA и OB, в ∠BOC — OB и OC, в ∠COA — OC и OA.
2. Объединяем стороны углов: это три луча OA, OB и OC с общей вершиной O.
3. Они задают трёхгранный угол с вершиной O, обозначаемый, например, OABC, если такой порядок принят в задаче.

Ответ: трёхгранный угол с вершиной O и рёбрами OA, OB, OC.

Задача 3. На чертеже отмечены три луча с общей вершиной и несколько дуг. Определите, какие дуги отмечают грани, и исправьте неверные подписи. Дуга показывает плоский угол, поэтому подпись нужно сверять с двумя лучами, между которыми она проведена.

1. Сначала назовите три луча-рёбра, например OA, OB и OC.
2. Для каждой дуги определите её стороны. Подходят только пары OA и OB, OB и OC, OA и OC.
3. Подпишите соответствующие углы ∠AOB, ∠BOC и ∠COA. Если дуга названа одним лучом или ей приписаны три стороны, подпись неверна: у плоского угла ровно две стороны.

Ответ: грани отмечены дугами между каждой парой рёбер; неверные подписи заменяют названиями соответствующих плоских углов.

Типичные ошибки

Иногда гранью называют отдельный луч. Это происходит потому, что на рисунке лучи заметнее, чем плоские углы между ними. Но луч является ребром, а грань ограничена двумя рёбрами; проверь себя, назвав обе стороны каждой грани.

Другая ошибка — считать, что у трёхгранного угла три вершины, принимая буквы на концах лучей за вершины фигуры. Вершина здесь одна — общая точка, из которой выходят все рёбра, например O. Проведи взглядом каждый луч назад к началу: если начала совпадают, это и есть вершина.

Можно перечислить только два плоских угла и забыть про третью пару рёбер. Такое случается, когда пары записывают не по порядку или сосредоточиваются на соседних лучах на рисунке. Для проверки выпиши все пары: первое со вторым, второе с третьим, первое с третьим; должны получиться три угла.

Наконец, плоский угол на рисунке иногда принимают за всю пространственную фигуру. Один плоский угол показывает только две стороны, тогда как трёхгранный угол включает три ребра и все три грани. Сосчитай лучи, выходящие из общей вершины: если видны лишь два, изображён только плоский угол, а не вся фигура.

Связь с другими темами

Для изучения трёхгранного угла нужно знать, что такое луч, вершина угла, стороны и плоский угол. Эти понятия позволяют увидеть его составные части и правильно обозначать грани. Представление о трёхгранном угле пригодится при изучении многогранников и других пространственных фигур. Оно помогает описывать фигуры, части которых сходятся в одной точке.

Что запомнить

• У трёхгранного угла одна общая вершина.
• Его рёбра — три луча с общей вершиной.
• Каждая пара рёбер образует плоский угол.
• У трёхгранного угла три грани.
• Грань является плоским углом, а не отдельным лучом.