2.2. Смежные углы

Определения и обозначения

Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются противоположными лучами. Например, если у углов AOB и BOC общая сторона OB, а OA и OC — противоположные лучи, то эти углы смежные. Это определение нужно, чтобы отличать смежные углы от любых двух углов, которые просто расположены рядом.

Противоположные лучи имеют общее начало и лежат на одной прямой, но направлены в разные стороны. Такой угол, стороны которого являются противоположными лучами, называется развернутым, и его градусная мера равна 180°. Это понятие помогает увидеть, какую фигуру составляют два смежных угла вместе.

Сумма градусных мер смежных углов равна 180°. Если один угол обозначить α°, то второй можно записать как 180° − α°. Это соотношение позволяет находить неизвестную меру угла и составлять уравнения, если величины углов заданы через переменную.

Как это устроено

Представь прямую AC и точку O на ней, а из точки O проведи луч OB. Углы AOB и BOC имеют общую вершину O и общую сторону OB; их другие стороны OA и OC направлены в противоположные стороны. Поэтому луч OB делит развернутый угол AOC на две части, и каждая часть является углом, а вместе они образуют смежную пару.

Причина равенства суммы 180° видна из этого чертежа: углы AOB и BOC вместе занимают ровно весь угол AOC. Поскольку AOC — развернутый угол, его градусная мера равна 180°. Значит, если сложить меры двух частей, получится 180°, независимо от того, насколько близко к одному краю проходит луч OB.

Чтобы найти один угол, если известен другой, обозначь неизвестный угол и используй сумму 180°. Например, если известный угол равен 68°, то неизвестный равен 180° − 68° = 112°. Вычитаем, потому что известная часть уже занимает часть развернутого угла, а нужно узнать оставшуюся часть.

Можно рассуждать и в обратную сторону: два угла имеют общую сторону, а сумма их мер равна 180°. Их стороны, не являющиеся общими, образуют угол в 180°, то есть развернутый угол. Следовательно, эти стороны — противоположные лучи, и углы смежные. Здесь важно именно наличие общей стороны: без неё одна только сумма 180° такого вывода не позволяет.

Проверяя, смежны ли углы на чертеже или по условию, сначала найди их вершины и стороны. Убедись, что вершина одна и одна сторона у углов общая, а затем проверь, что две необщие стороны лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Сумма мер 180° может подтвердить вывод, но сама по себе не заменяет проверку расположения сторон.

Смежные углы: признаки и соотношения

Пользуйся таблицей как списком условий: для определения смежности проверь общую сторону и положение двух остальных сторон. Последние две строки помогают решать задачи на вычисление. Если один угол равен α°, второй равен 180° − α°.

Разбор задач

Задача 1. Один из смежных углов равен 68°. Найдите второй угол. По определению смежные углы вместе образуют развернутый угол, поэтому сначала записываем сумму 180°. Из этой суммы вычтем известную часть, чтобы получить меру оставшегося угла.

1. Обозначим неизвестную меру через x.
2. Запишем: x + 68° = 180°.
3. Вычтем 68°: x = 180° − 68° = 112°.

Ответ: 112°. Проверка: 68° + 112° = 180°, как и должно быть у смежных углов.

Задача 2. Два смежных угла относятся как 2:7. Найдите их градусные меры. Отношение показывает, что углы состоят из двух одинаковых условных частей и семи таких частей. Обозначим меру одной части через x, выразим через неё оба угла и используем известную сумму смежных углов.

1. Пусть углы равны 2x и 7x.
2. Составим уравнение: 2x + 7x = 180°.
3. Сложим подобные слагаемые: 9x = 180°, откуда x = 20°.
4. Найдём углы: 2x = 40°, а 7x = 140°.

Ответ: 40° и 140°. Проверка показывает, что отношение равно 2:7, а сумма мер равна 180°.

Задача 3. Угол AOB равен 125°, лучи OA и OC противоположны. Найдите угол BOC и объясните, почему углы AOB и BOC смежные. Луч OB является общей стороной этих углов, а условие о лучах OA и OC сразу указывает, как расположены их необщие стороны. Значит, можно применить свойство суммы смежных углов.

1. Запишем сумму: ∠AOB + ∠BOC = 180°.
2. Подставим известную меру: 125° + ∠BOC = 180°.
3. Вычтем 125°: ∠BOC = 55°.
4. Проверим определение: общая сторона — OB, а OA и OC — противоположные лучи.

Ответ: ∠BOC = 55°. Углы смежные, потому что имеют общую сторону, а их необщие стороны — противоположные лучи.

Типичные ошибки

Ошибка — считать углы смежными только потому, что у них есть общая сторона. Общая сторона необходима, но две остальные стороны тоже должны быть противоположными лучами. Такую ошибку легко допустить, если смотреть лишь на то, что углы «соседние» на рисунке; проверь, лежат ли необщие стороны на одной прямой и направлены ли в разные стороны.

Иногда при вычислении неизвестного угла к известному прибавляют 180°. Но 180° — мера всей смежной пары, поэтому из неё нужно вычесть известную часть. Для проверки сложи найденную меру с известной: если сумма не равна 180°, вычисление неверно.

Не путай меру одного угла с суммой мер смежной пары. Угол может быть равен, например, 68°, а 180° относится к обоим углам вместе. Перед вычислениями полезно подписать, что именно известно: один угол или сумма двух углов.

Неверно объявлять смежными любые два угла, сумма которых равна 180°. Они могут не иметь общей стороны или их необщие стороны могут не быть противоположными лучами. Проверь оба условия определения, даже если сумма уже известна: одно числовое равенство не описывает расположение углов.

Связь с другими темами

Для изучения смежных углов нужно знать, что такое угол, луч, противоположные лучи и градусная мера угла. Свойство суммы 180° используют, когда требуется найти неизвестные углы или составить уравнение по условию задачи. Позже оно пригодится при изучении вертикальных углов: при пересечении прямых смежные углы помогают обосновать, почему вертикальные углы равны. Так знакомое соотношение становится частью доказательства нового свойства.

Что запомнить

• У смежных углов одна общая сторона.
• Необщие стороны смежных углов — противоположные лучи.
• Смежные углы вместе образуют развернутый угол.
• Сумма градусных мер смежных углов равна 180°.
• Если один смежный угол равен α°, то второй равен 180° − α°.
• Для проверки смежности нужно проверить и общую сторону, и противоположность двух остальных сторон.