2.1. Углы на плоскости

Определения и обозначения

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало лучей называют вершиной, а сами лучи — сторонами угла. Например, если лучи BA и BC выходят из точки B, то B — вершина, а BA и BC — стороны. Эти названия помогают точно описывать, из каких частей состоит фигура.

Угол обозначают тремя буквами, например ∠ABC: буква вершины B стоит посередине, а A и C указывают на стороны. Если при вершине изображён только один угол, его можно обозначить одной буквой, например ∠B. Когда из одной точки выходят несколько лучей, одной буквы недостаточно: она не покажет, какой именно угол имеется в виду. Тогда запись тремя буквами помогает избежать путаницы.

Градусная мера угла показывает его величину и записывается числом со значком градуса: например, 38°. За единицу измерения принимают угол в один градус, обозначаемый 1°. Сравнение с этой единицей позволяет численно описывать поворот между сторонами угла и сопоставлять разные углы.

Биссектриса угла — луч, который выходит из вершины и делит угол на два равных угла. Например, если луч BD — биссектриса угла ABC, то ∠ABD = ∠DBC. Это свойство позволяет находить неизвестную часть или весь угол, когда известна мера одной из половин.

Как это устроено

Два луча с общим началом задают угол, потому что исходят из одной точки и расходятся в разных направлениях. Общую точку называют вершиной, а лучи — сторонами: по ним можно понять, где начинается и где заканчивается поворот. Угол включает не только стороны, но и часть плоскости между ними. Если забыть о внутренней области, можно спутать геометрическую фигуру с двумя отдельными лучами.

Чтобы измерять углы, сравнивают их с единичным углом, равным 1°. Такая мера удобна: угол можно выразить числом градусов и сравнить с другими углами, а не только сказать, что он больше или меньше. Полный оборот составляет 360°, поскольку при повороте на него направление возвращается к исходному. Развёрнутый угол — половина полного оборота, то есть 180°, а прямой — половина развёрнутого, то есть 90°.

Виды углов различают по точным границам их градусной меры. Острый угол меньше 90°, прямой равен 90°, а тупой больше 90°, но не достигает 180°. Развёрнутый угол равен 180° и образует прямую линию. Сравнение с 90° и 180° помогает определить вид угла без оценки «на глаз».

Одна вершина может быть общей для нескольких углов, если из неё выходят три или больше лучей. Поэтому обозначение одной буквой в такой ситуации не указывает на конкретную пару сторон. Чтобы название было однозначным, используют три буквы: средняя показывает вершину, две крайние — стороны выбранного угла. Перед ответом проверь, что крайние буквы относятся именно к нужным лучам.

Биссектриса проходит внутри угла и образует с его сторонами два угла одинаковой величины. Равенство частей следует из определения биссектрисы, поэтому известную меру одной части можно удвоить, чтобы получить весь угол. Если же известна мера всего угла, её делят пополам, чтобы найти каждую часть. Так свойство биссектрисы превращается в простой способ вычислять неизвестные величины.

Виды углов по градусной мере

Чтобы определить вид угла, сначала сравни его градусную меру с 90°, затем — с 180°. Равенство границе важно: 90° — прямой угол, а 180° — развёрнутый, не острый и не тупой.

Разбор задач

Задача 1. Угол обозначен тремя буквами ABC. Назовите его вершину и стороны. При чтении такого обозначения сначала нужно найти букву, которая занимает особое место, а затем соотнести остальные буквы с лучами. Это правило позволяет не перепутать вершину со стороной.

1. В записи ABC средняя буква — B.
2. Средняя буква обозначает вершину, поэтому вершина угла — точка B.
3. Крайние буквы A и C указывают на направления сторон; стороны — лучи BA и BC.

Ответ: вершина — B, стороны — лучи BA и BC. Проверка: вершина должна быть общей точкой, из которой выходят оба луча.

Задача 2. Определите вид углов, меры которых равны 38°, 90°, 127° и 180°. Для каждого числа сначала проверим, меньше ли оно 90°, равно ли 90° или лежит между 90° и 180°. Последнее значение сравним с границей развёрнутого угла. Так классификация будет основана на определениях, а не на внешнем впечатлении.

1. 38° меньше 90°, поэтому это острый угол.
2. 90° равно мере прямого угла.
3. 127° больше 90°, но меньше 180°, значит, угол тупой.
4. 180° — мера развёрнутого угла.

Ответ: 38° — острый, 90° — прямой, 127° — тупой, 180° — развёрнутый угол. Удобно проверять попадание числа в нужный промежуток, особенно рядом с граничными значениями.

Задача 3. Биссектриса делит угол на две части, одна из которых равна 34°. Найдите весь угол и определите его вид. Поскольку луч является биссектрисой, вторая часть тоже равна 34°. После сложения частей сравним получившуюся меру с 90° и 180°.

1. По свойству биссектрисы вторая часть равна первой: 34°.
2. Сложим меры частей: 34° + 34° = 68°.
3. 68° меньше 90°, поэтому весь угол острый.

Ответ: 68°, острый угол. Проверка: биссектриса действительно делит его на две равные части по 34°.

Типичные ошибки

Иногда вершиной называют одну из сторон угла. Так происходит, когда путают точку и луч: вершина — общая точка, откуда выходят оба луча. Проверь себя: можно ли назвать вершину точкой, а стороны — лучами? Если в ответе вершина названа лучом, термины перепутаны.

В обозначении тремя буквами иногда ставят букву вершины не посередине. Тогда название может указать на другой угол или оказаться непонятным. Ошибку допускают, если читают запись как обычное имя из трёх букв, не учитывая правило обозначения. Перед записью найди общую точку сторон и помести её букву в середину.

Угол порой представляют только как два луча и забывают о части плоскости между ними. Вероятная причина — стороны хорошо видны на чертеже, а внутренняя область не выделена. Чтобы проверить понимание, укажи не только лучи, но и область, которую они ограничивают. В определении угла учитывают обе стороны и часть плоскости между ними.

Угол в 90° могут по ошибке назвать острым или тупым, оценивая его приблизительно. Причина в том, что чертёж может быть выполнен неточно, а зрительная оценка ненадёжна. Сверяйся с точной мерой: острый меньше 90°, тупой больше 90°, прямой равен 90°. Равенство граничному числу нельзя заменять словами «почти» или «примерно».

Связь с другими темами

Для изучения углов нужны понятия точки, луча и плоскости: без них нельзя точно описать вершину, стороны и область между ними. Также пригодится умение сравнивать величины, чтобы определять вид угла по градусной мере. Эти знания станут основой для тем о смежных и вертикальных углах, а затем — для изучения треугольников. Углы понадобятся и при построениях циркулем и линейкой.

Что запомнить

• Угол образуют два луча с общим началом.
• Общее начало лучей — вершина угла.
• При обозначении угла тремя буквами буква вершины стоит посередине.
• Острый угол меньше 90°, прямой равен 90°, тупой больше 90° и меньше 180°.
• Развёрнутый угол равен 180°.
• Биссектриса делит угол на два равных угла.