1.2. Отрезки и их длины

Определения и обозначения

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками; эти точки называют его концами. Например, точки A и B задают отрезок AB, который включает сами концы и все точки прямой между ними. Отрезок нужен, чтобы обозначать ограниченную часть прямой, а не бесконечную линию.

Длина отрезка — положительная величина, которую получают при измерении отрезка выбранной единицей длины. Её можно выразить, например, в миллиметрах, сантиметрах или метрах. Длина нужна, чтобы сравнивать отрезки и выполнять вычисления с расстояниями.

Равные отрезки — отрезки, длины которых равны; равенство отрезков записывают, например, как AB = CD. Это означает, что длина AB совпадает с длиной CD, хотя сами отрезки могут находиться в разных местах. Такое понятие позволяет сравнивать отрезки не только на рисунке, но и по измерениям.

Единичный отрезок — отрезок, длина которого принята за единицу измерения. Например, сантиметр — единица, с которой сравнивают длину измеряемого отрезка. Без выбранной единицы число само по себе не сообщает, насколько длинен отрезок.

Как это устроено

Чтобы назвать отрезок, указывают буквами его концы: отрезок с концами A и B обозначают AB. Можно написать и BA, потому что перестановка букв не меняет ни сами концы, ни точки между ними. Это удобно: один геометрический объект можно обозначить в любом порядке, не создавая нового отрезка. Если важно отличить его от других, достаточно знать обе конечные точки.

Измерять отрезок можно сравнением с единичным отрезком. Единицу откладывают вдоль измеряемого отрезка столько раз, сколько помещается, а если целое число раз не получается, используют более мелкие единицы. Поэтому длину записывают и числом, и названием единицы: например, 5 см. Одна и та же длина может иметь разные числовые значения в разных единицах, поэтому при вычислениях единицы учитывают.

Длины можно сравнить как числа, если они выражены в одинаковых единицах. Если после такого сравнения значения совпали, отрезки равны по длине, даже когда один нарисован горизонтально, а другой наклонно. Само положение на чертеже не определяет равенство: рисунок может быть выполнен не в точном масштабе. Поэтому для уверенного сравнения используют измерение или данные задачи.

Если точка C лежит между концами A и B, она делит отрезок AB на части AC и CB. При движении от A к B сначала проходят часть AC, затем часть CB, поэтому длина всего пути складывается из длин этих частей. Получаем правило AB = AC + CB. Условие о расположении точки необходимо: только тогда части вместе составляют данный отрезок без пропуска.

Если известна длина всего отрезка и одной его части, вторую часть находят вычитанием. Например, из длины AB вычитают AC, чтобы получить CB: CB = AB − AC. Это обратное действие к сложению, ведь при сложении частей получается целый отрезок. Результат можно проверить: сумма найденной и известной частей должна равняться длине целого отрезка.

Отрезки и их длины

В таблице собраны обозначения и правила для измерения и вычисления длин. Сначала найди в левом столбце нужную ситуацию, затем прочитай соответствующее ей правило. В формулах следи за тем, какие точки являются концами отрезка, а какая лежит между ними.

Разбор задач

Задача 1. Длина отрезка AB равна 6 см. Запишите, какова длина отрезка BA. Требуется понять, изменится ли длина при обратном порядке букв. Буквы обозначают те же самые концы, поэтому речь идёт о том же отрезке.

1. У отрезков AB и BA совпадают концы A и B.
2. Порядок букв не меняет отрезок и его длину.
3. Переносим известное значение длины: BA = 6 см.

Ответ: длина BA равна 6 см.

Задача 2. Точка C лежит между A и B, AC = 4 см, CB = 7 см. Найдите AB. Так как C находится между концами, части AC и CB составляют весь отрезок AB. Значит, нужно сложить длины обеих частей, предварительно убедившись, что единицы одинаковы.

1. Записываем правило для точки между концами: AB = AC + CB.
2. Подставляем значения: AB = 4 см + 7 см.
3. Складываем: AB = 11 см.

Ответ: AB = 11 см. Проверка расположения понятна из условия: две части идут подряд от A до B.

Задача 3. Точка C лежит между A и B, AB = 15 см, AC = 9 см. Найдите CB и проверьте ответ. Здесь известна длина целого отрезка и одной части, поэтому складывать известные числа нельзя: это дало бы не длину неизвестной части. Нужно узнать, сколько остаётся от 15 см после того, как учли 9 см.

1. Записываем формулу: CB = AB − AC.
2. Подставляем данные: CB = 15 см − 9 см.
3. Вычитаем: CB = 6 см.
4. Проверяем сложением частей: 9 см + 6 см = 15 см.

Ответ: CB = 6 см; проверка подтверждает результат.

Типичные ошибки

Иногда длину отрезка считают нулевой или отрицательной. Так могут рассуждать, если перепутать длину с направлением движения по прямой, но длина показывает размер отрезка и всегда положительна. Проверь себя: измеряемый отрезок имеет два разных конца, а результат измерения выражается положительным числом с единицей.

Можно ошибочно считать AB и BA разными отрезками, потому что буквы записаны в обратном порядке. На самом деле буквы называют концы, а перестановка их местами не переносит точки и не меняет объект. Чтобы проверить обозначения, сравни пары концов: если это те же A и B, отрезок тот же, а длина одинакова.

Нельзя автоматически складывать AC и CB, если известно только, что точки названы A, B и C. Правило AB = AC + CB подходит, когда C лежит между A и B; без этого условия отрезки могут не составлять AB. Перед вычислением проверь расположение точек по условию, а не только по схематичному рисунку.

При записи ответа иногда забывают единицы или складывают, например, сантиметры с метрами как обычные числа. Это происходит, когда внимание сосредоточено только на вычислении, но единицы являются частью измеренной величины. Проверь, что в ответе есть единица, а перед сложением или вычитанием все длины выражены в одинаковых единицах.

Связь с другими темами

Для работы с отрезками нужно знать, что такое точка и прямая, и уметь обозначать точки заглавными латинскими буквами. Измерение опирается на выбор единицы и сравнение чисел: именно так длина получает числовое выражение. Эти знания понадобятся при изучении углов и треугольников, где сравнивают геометрические элементы и используют длины сторон. Правило сложения частей также помогает решать задачи на периметр — сумму длин сторон фигуры.

Что запомнить

• У отрезка два конца.
• Длина отрезка положительна.
• Длина отрезка не зависит от порядка букв в его обозначении.
• Равные отрезки имеют равные длины.
• Если C лежит между A и B, то AB = AC + CB.
• Длину части можно найти, вычитая длину другой части из длины целого отрезка.