1.1. Понятие геометрической фигуры

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — множество точек плоскости. Множество может состоять из одной точки или из множества точек, например всех точек отрезка. Поэтому фигурой называют не только нарисованную область, но и точку или линию. Это определение позволяет описывать разные геометрические объекты одним способом.

Точка принадлежит фигуре, если она входит в состав этой фигуры. Запись A ∈ F означает, что точка A принадлежит фигуре F, а A ∉ F — что не принадлежит. Символы помогают коротко записывать результат проверки. Так можно точно указать, лежит ли точка на прямой или внутри угла.

Равные геометрические фигуры — фигуры, состоящие из одних и тех же точек. Если точки двух фигур совпадают полностью, фигуры равны, даже если чертежи выглядят по-разному. Одного совпадения формы недостаточно: фигуры в разных местах плоскости могут иметь разные точки. Это определение отличает равенство от простого сходства.

Часть геометрической фигуры — фигура, все точки которой принадлежат другой фигуре. Например, отрезок может быть частью прямой, если каждая его точка лежит на этой прямой. Проверяют не только концы, но и все точки первой фигуры. Такое понимание помогает устанавливать, входит ли один объект целиком в другой.

Как это устроено

На чертеже фигуру показывают линиями или условными отметками, но изображение — только способ представить её. Толщина линии и размер точки на бумаге не являются частью геометрического объекта: они нужны, чтобы его было видно. Поэтому геометрическую фигуру удобнее понимать как набор точек, а не как след карандаша. Тогда можно рассуждать точно, даже если рисунок выполнен приблизительно.

Принадлежность точки выясняют по определению фигуры и условию задачи. Если точка лежит на прямой, она входит в эту прямую; если находится в стороне от неё, не входит. На рисунке точка может казаться лежащей на линии из-за неточности или масштаба. Поэтому запись A ∈ F или A ∉ F делают только после проверки, а не по одному впечатлению.

Точка, прямая, отрезок и угол выглядят по-разному, но каждый из них можно описать через входящие в него точки. Точка состоит из одной точки, прямая — из всех точек, лежащих на ней, а отрезок — из точек прямой между двумя концами вместе с концами. Угол образован двумя лучами с общим началом; к нему относят точки этих лучей и внутренней области. Такой взгляд позволяет применять к разным объектам общие понятия принадлежности и включения.

Чтобы установить, является ли фигура A частью фигуры B, нужно проверить каждую точку A: все они должны принадлежать B. Если хотя бы одна точка A находится вне B, условие не выполнено. Например, когда концы отрезка лежат на прямой, между ними тоже лежат точки этой прямой, поэтому весь отрезок входит в неё. Проверка только отдельных точек достаточна лишь тогда, когда свойство фигуры позволяет сделать вывод обо всех остальных.

Равенство фигур определяется составом точек, а не тем, как изображения выглядят на странице. Одинаково нарисованные отрезки, расположенные в разных местах, не состоят из одних и тех же точек. И наоборот, одну и ту же фигуру можно изобразить по-разному, например провести линию тоньше или толще. Поэтому при вопросе о равенстве сравнивают сами точки фигур, а не внешний вид чертежей.

Примеры геометрических фигур и их точек

Сначала определите, какие именно точки входят в рассматриваемую фигуру. Затем сравните положение данной точки с этим описанием. Для проверки включения целой фигуры проверьте все её точки, а не только те, которые заметны на чертеже.

Разбор задач

Задача 1. На чертеже отмечены точка A и отрезок BC. Определить, принадлежит ли A отрезку BC, и записать ответ символами. В условии не сообщено, где именно расположена A, поэтому сначала нужно проверить её положение относительно концов отрезка. Ответ зависит от чертежа или дополнительных сведений.

1. Определяем границы отрезка: это точки B и C, включая сами концы.
2. Проверяем, лежит ли A на части прямой от B до C или совпадает ли она с B либо C.
3. Если условие выполнено, записываем A ∈ BC; если A расположена вне отрезка, записываем A ∉ BC.

Ответ: принадлежность зависит от положения A; запись — A ∈ BC или A ∉ BC. Не следует решать задачу только по тому, что точка нарисована близко к отрезку. Она должна лежать именно на отрезке или совпадать с его концом.

Задача 2. Даны прямая a и отрезок MN. Известно, что M и N лежат на a. Нужно объяснить, является ли MN частью прямой a. Для ответа важно не ограничиваться проверкой концов: требуется установить принадлежность всех точек отрезка. Отрезок состоит из концов и точек между ними.

1. По условию M ∈ a и N ∈ a.
2. Между точками M и N на прямой a лежат все точки отрезка MN.
3. Значит, каждая точка отрезка принадлежит a, то есть отрезок целиком входит в прямую.

Ответ: да, MN является частью прямой a. Вывод следует из того, что прямая содержит точки M и N, а также все точки между ними. Здесь проверка концов вместе со свойством прямой позволяет сделать вывод обо всём отрезке.

Задача 3. Две фигуры изображены по-разному. Известно, что в обе входят ровно одни и те же точки. Нужно определить, равны ли фигуры. Разница изображений может быть связана с расположением, толщиной линий или способом черчения. Решение опирается на заданное условие о точках.

1. Вспоминаем определение равных фигур: их составляют одни и те же точки.
2. Сравниваем не форму картинок, а множества точек, входящих в фигуры.
3. По условию эти множества совпадают, значит, совпадают и сами фигуры.

Ответ: фигуры равны. Разное изображение не меняет результата, если набор точек один и тот же. Если бы совпадала только форма, но точки были разными, оснований считать фигуры равными не было бы.

Типичные ошибки

Ошибка — считать фигурой только замкнутую или закрашенную область. Так думают, потому что слово «фигура» часто связывают с многоугольниками на рисунках. Но фигурой может быть точка, прямая или отрезок. Проверьте себя: можно ли описать объект как множество точек плоскости? Если да, это геометрическая фигура.

Ошибка — считать, что точка рядом с линией обязательно ей принадлежит. На рисунке расстояние может быть показано неточно, поэтому близость легко принять за пересечение. Принадлежность устанавливают по чертежу вместе с условием, а не по догадке. Проверьте, лежит ли точка на самой линии или включена ли она в фигуру согласно условию.

Ошибка — путать принадлежность точки фигуре с включением одной фигуры в другую. Эти выражения похожи, но в первом случае рассматривают точку и фигуру, а во втором — две фигуры. Если спрашивают о точке, записывают ∈ или ∉; если о части фигуры, проверяют все её точки. Перед решением назовите, какие именно объекты сравниваются.

Ошибка — объявлять фигуры равными только потому, что они выглядят одинаково. Похожими могут быть фигуры с разными точками, например одинаковые по виду отрезки в разных местах плоскости. Равенство требует совпадения множеств точек, а не только формы или размеров. Проверьте, указано ли, что точки фигур одни и те же; если нет, внешний вид сам по себе не доказывает равенство.

Связь с другими темами

Для изучения этой темы нужно представлять, что точка и плоскость служат основными объектами геометрии. Чертёж помогает показать объекты, но не подменяет их точных определений. Поэтому геометрические рассуждения опираются на свойства фигур, а не только на то, как они нарисованы.

Принадлежность точки понадобится при изучении прямой, отрезка, луча и угла. С её помощью читают чертежи и записывают, лежит ли точка на линии или внутри фигуры. Эти обозначения помогают формулировать условия и делать выводы в задачах.

Включение и равенство фигур задают отношения между геометрическими объектами. Позже они пригодятся, чтобы сравнивать фигуры и рассуждать об их свойствах. Умение проверять состав точек служит основой для таких выводов.

Что запомнить

• Геометрическая фигура — множество точек плоскости.
• Точка может принадлежать фигуре или не принадлежать ей.
• Фигурой может быть одна точка.
• Фигура является частью другой, если все её точки входят в другую фигуру.
• Равные фигуры состоят из одних и тех же точек.
• Чертёж помогает рассуждать, но не заменяет точные определения.