"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Точка, прямая, отрезок, луч и угол — простейшие фигуры, из которых складываются геометрические чертежи. Их изучают, чтобы точно описывать расположение объектов, строить новые фигуры и доказывать свойства. Прямая бесконечна, отрезок ограничен двумя концами, а луч имеет начало и продолжается в одну сторону. Два луча с общим началом образуют угол. Умение читать обозначения и сравнивать фигуры пригодится при изучении треугольников и других тем геометрии.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Точка — основное геометрическое понятие, которое обозначают заглавной латинской буквой, например A. Точку изображают маленьким штрихом или кружком, но её размер не важен. Она помогает указать точное место на чертеже и служит ориентиром для других фигур.
Прямая — линия, которая не имеет ни начала, ни конца. Её обозначают двумя заглавными буквами, например AB, или одной строчной латинской буквой, например a. На бумаге рисуют только часть прямой, а мысленно продолжают её в обе стороны; это обозначение нужно, чтобы точно назвать линию.
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами, а сам отрезок обозначают, например, AB; его длину записывают как AB. Отрезки нужны, чтобы задавать конечное расстояние между точками и сравнивать такие расстояния.
Луч — часть прямой, у которой есть начало, но нет конца в направлении продолжения. Его обозначают двумя заглавными буквами: сначала называют начало, затем точку, через которую он проходит, например луч OA. Луч помогает показать направление от одной точки, не ограничивая его конечной точкой.
Геометрические фигуры задаются точками и тем, как точки расположены относительно друг друга. Например, две точки могут лежать на одной прямой, а другие — не лежать на ней. Точка и прямая служат исходными понятиями: их нельзя определить через более простые геометрические объекты, зато с их помощью описывают остальные фигуры. Поэтому при разборе чертежа сначала отмечают точки и устанавливают, какие линии их соединяют.
Через любые две различные точки проходит ровно одна прямая. Две точки задают направление линии, поэтому через них нельзя провести две разные прямые, не совпадающие друг с другом. Чтобы построить прямую через A и B, приложи линейку так, чтобы её край проходил через обе точки, и проведи линию. Эту прямую называют AB или BA: порядок двух букв здесь не меняет саму прямую.
Если на прямой отметить две точки, часть линии между ними будет отрезком. Точки становятся границами этой части, поэтому у отрезка есть два конца; например, между A и C лежит отрезок AC. Если же отметить одну точку на прямой, она разделит линию на две части, каждая из которых продолжается от этой точки в свою сторону. Такие части называют лучами, и у каждого из них есть начало, но нет конца в направлении продолжения.
Два луча с общим началом образуют угол. Общее начало называют вершиной угла, а сами лучи — его сторонами; например, для лучей OA и OB вершина — O, стороны — OA и OB. Угол обозначают тремя буквами, ставя букву вершины посередине: ∠AOB или ∠BOA. Порядок крайних букв может меняться, но средняя буква должна обозначать общую точку лучей.
Две фигуры называют равными, если их можно совместить наложением так, чтобы они совпали. Для отрезков это означает, что при совмещении совпадают оба конца, а сами отрезки идут по одной линии; тогда их длины равны. У равных углов при наложении совпадают вершины и стороны. Такое представление позволяет сравнивать фигуры не только по виду на чертеже: рисунок может быть сделан неточно, а возможность совмещения остаётся главным признаком равенства.
| Фигура | Как образована | Обозначение | Что важно помнить |
|---|---|---|---|
| Точка | Отдельное положение на плоскости | A | Обозначается заглавной буквой |
| Прямая | Бесконечная линия, проходящая через точки | AB или a | Не имеет начала и конца |
| Отрезок | Часть прямой между двумя точками | AB | Имеет два конца |
| Луч | Часть прямой с началом, продолжающаяся в одну сторону | Луч OA | Первая буква обозначает начало |
| Угол | Два луча с общим началом | ∠AOB | Буква вершины стоит посередине |
Пользуйся таблицей, чтобы быстро проверить, как образована фигура и какие буквы нужны для её обозначения. Особенно внимательно следи за концами отрезка и началом луча: именно они отличают эти фигуры от прямой. Для угла сначала найди общую точку лучей, а затем поставь её букву в середину обозначения.
Задача 1. На рисунке отмечены точки A и B. Проведите прямую через них и обозначьте её двумя способами. Нужно использовать свойство, которое связывает две различные точки с прямой. При построении важно провести линию через обе точки, а не просто соединить их коротким отрезком.
Приложим линейку так, чтобы её край проходил через A и B, затем проведём по нему линию.
Мысленно продолжим проведённую линию в обе стороны: получилась прямая, а не отрезок AB.
Обозначим её буквами A и B или одной строчной латинской буквой, например a.
Ответ: прямая AB (или BA); второе обозначение — a. По двум различным точкам можно провести только одну такую прямую, поэтому построение определено однозначно.
Задача 2. На прямой отмечены точки A, B и C, причём B лежит между A и C. Назовите отрезки, на которые точка B делит отрезок AC. Здесь важно учитывать, что исходная фигура — отрезок, ограниченный A и C, а не вся прямая. Точка B внутри него создаёт две части с общей границей.
Запишем концы исходного отрезка: это A и C, значит, исходная фигура обозначается AC.
Так как B лежит между A и C, одна часть идёт от A до B, а другая — от B до C.
Назовём эти части по их концам: AB и BC. Точка B принадлежит обоим отрезкам.
Ответ: точка B делит отрезок AC на отрезки AB и BC. Не нужно добавлять всю прямую: в условии спрашивают именно о частях отрезка между заданными точками.
Задача 3. Из точки O проведены лучи OA и OB. Запишите обозначение образованного угла, назовите его вершину и стороны. Чтобы ответить, сначала нужно найти общее начало лучей: оно определяет вершину. Затем следует записать буквы так, чтобы обозначение угла не скрыло расположение его сторон.
Оба луча начинаются в O, поэтому точка O — общая для них.
Обозначим угол тремя буквами: ∠AOB. Средняя буква O показывает, где находится вершина.
Назовём лучи, образующие угол: это OA и OB. Их порядок в перечне сторон не меняет ответ.
Ответ: угол AOB (∠AOB); вершина — O, стороны — лучи OA и OB. Можно также записать ∠BOA, потому что вершина и обе стороны останутся теми же.
Иногда считают, что у прямой есть концы, потому что на рисунке она изображена конечной линией. Такое впечатление возникает из-за границ листа или места, оставленного для чертежа. Проверь себя: если обозначена прямая, мысленно продолжи её по обе стороны от изображённой части. Концы на рисунке не превращают её в отрезок.
Прямую путают с отрезком, поскольку обе фигуры могут быть нарисованы линией. Но у отрезка обязательно есть два конца, а прямая продолжается бесконечно и не ограничена точками. Чтобы проверить себя, посмотри на обозначенные точки: если они задают границы фигуры, это отрезок. Если указано, что линия продолжается в обе стороны, речь идёт о прямой.
Луч могут назвать отрезком или забыть указать, где он начинается. Так происходит, если смотреть только на нарисованный штрих и не учитывать направление его продолжения. Проверь порядок букв: первая буква обозначения луча указывает его начало, а вторая — точку на нём. У луча есть начало, но нет конца в направлении движения от него.
В записи угла иногда ставят букву вершины первой или последней, например называют угол AOB как ∠OAB. Ошибка возникает, когда порядок букв выбирают наугад, не проверяя, какая точка общая для сторон. Чтобы проверить обозначение, найди вершину — общее начало лучей — и поставь её букву в середину записи. Крайние буквы должны указывать на точки, лежащие на сторонах угла.
Для работы с этими фигурами нужно уметь пользоваться линейкой, отмечать точки и читать геометрические рисунки. Сначала следует различать условный чертёж и саму фигуру: проведённая на листе линия может изображать бесконечную прямую. Знание точки, прямой, отрезка и луча понадобится при изучении углов, треугольников и построений. А сравнение отрезков и углов поможет обосновывать равенство фигур и доказывать геометрические утверждения.
Чем прямая отличается от отрезка?
Прямая не имеет ни начала, ни конца и продолжается бесконечно в обе стороны. Отрезок — её часть, ограниченная двумя точками; эти точки называют концами отрезка.
Почему прямую на рисунке изображают конечной линией?
На листе бумаги нельзя начертить линию бесконечной длины, поэтому показывают только её часть. По условному рисунку и обозначению понимают, что прямая мысленно продолжается в обе стороны.
Как правильно обозначить луч?
Луч называют двумя заглавными буквами: сначала записывают его начало, затем любую другую точку на луче. Например, луч с началом O, проходящий через A, обозначают OA.
Что называют вершиной угла?
Вершина угла — это общее начало двух лучей, образующих угол. Например, у угла, образованного лучами OA и OB, вершина — точка O.
Почему буква вершины угла стоит в середине его обозначения?
В обозначении из трёх букв средняя буква указывает вершину угла, а две крайние — точки на его сторонах. Поэтому угол с вершиной O и сторонами OA и OB записывают ∠AOB или ∠BOA.
Раздел 1. Геометрические фигуры
