§ 23. Смежные углы

Определения и обозначения

Смежные углы — это два угла с общей вершиной и общей стороной, у которых две другие стороны являются противоположными лучами. Противоположные лучи имеют общее начало и лежат на одной прямой, но направлены в разные стороны. Например, если у углов одна сторона — луч OC, а две другие — лучи OA и OB, причём OA и OB противоположны, углы AOC и COB смежные. Такое определение позволяет отличить смежные углы от любых двух углов, просто расположенных рядом.

Развернутый угол — угол, стороны которого являются противоположными лучами. Его градусная мера равна 180°, потому что он соответствует половине полного оборота вокруг точки: полный оборот составляет 360°. Когда общая сторона смежных углов выходит из вершины на прямой, она делит развернутый угол на две части. Поэтому развернутый угол нужен, чтобы объяснить, откуда берётся сумма смежных углов.

Свойство смежных углов: сумма их градусных мер равна 180°. Если углы обозначены α и β, это записывают так: α + β = 180°. Свойство пригодится, когда требуется найти неизвестный угол или составить уравнение. Оно верно для любой пары смежных углов, независимо от того, острые они или тупые.

Как это устроено

Представь прямую AOB и луч OC, выходящий из точки O. Лучи OA и OB — противоположные, а OC становится общей стороной углов AOC и COB. На чертеже луч OC делит развернутый угол AOB на две части. Значит, каждый из образовавшихся углов имеет общую вершину и сторону с другим, а их необщие стороны составляют прямую: это и показывает, что углы смежные.

Почему их градусные меры складываются в 180°? По определению смежных углов необщие стороны лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Угол между такими лучами развернутый, а его мера равна 180°. Общая сторона делит этот развернутый угол на две части, поэтому меры частей вместе дают меру всего угла: α + β = 180°.

Чтобы найти один смежный угол по другому, нужно из 180° вычесть известную меру. Например, если один угол равен 35°, то второй равен 180° − 35° = 145°. Вычитание здесь подходит потому, что известный угол и неизвестный вместе составляют 180°. Проверка проста: 35° + 145° = 180°.

Если известны только меры двух углов и их сумма равна 180°, это ещё не доказывает, что углы смежные. Сначала сумма подтверждает необходимое свойство, а затем нужно отдельно посмотреть на чертёж: есть ли у углов общая сторона и являются ли две другие стороны противоположными лучами. Например, углы 68° и 112° подходят по сумме, но без нужного расположения сторон смежными не являются. Так проверяют и числовое условие, и геометрическое определение.

Особые случаи можно понять из той же суммы. Если смежные углы равны, обозначим каждый через x: тогда x + x = 180°, значит, x = 90°. Если один угол острый, то есть меньше 90°, второй должен быть больше 90°, поэтому он тупой; если один тупой, второй острый. Это следует из того, что оба угла вместе дают ровно 180°.

Смежные углы и их свойства

Сначала найди в строке таблицы то, что дано: например, равенство углов или меру одного из них. Затем используй соответствующее следствие, чтобы вычислить второй угол или проверить чертёж. Для вывода о смежности проверь не только сумму, но и расположение сторон.

Разбор задач

Задача 1. Один из смежных углов равен 47°. Найдите второй угол. Нужно использовать свойство смежных углов: вместе они составляют 180°. Поэтому неизвестный угол найдём как разность между 180° и известной мерой.

1. Обозначим второй угол через x. Так как углы смежные, составим равенство x + 47° = 180°.
2. Выразим x: x = 180° − 47° = 133°. Вычитание, а не сложение, находит недостающую часть развернутого угла.
3. Проверим результат: 133° + 47° = 180°. Условие задачи выполнено.

Ответ: 133°.

Задача 2. Смежные углы относятся как 2:7. Найдите градусную меру каждого угла. Отношение означает, что первый угол состоит из двух одинаковых долей, а второй — из семи таких долей. Обозначим размер одной доли через x и найдём его из общей суммы 180°.

1. Запишем углы как 2x и 7x. Их сумма равна 180°, поэтому составим уравнение: 2x + 7x = 180°.
2. Сложим подобные слагаемые: 9x = 180°. Разделим обе части на 9 и получим x = 20°.
3. Найдём углы: 2x = 40°, а 7x = 140°. Проверим сумму: 40° + 140° = 180°.

Ответ: 40° и 140°.

Задача 3. Два угла имеют меры 68° и 112°. Могут ли они быть смежными? Какие условия чертежа необходимо проверить? Сначала сравним их сумму с 180°, а затем проверим не числа, а положение сторон. Это два отдельных условия: для смежных углов важны и меры, и устройство фигуры.

1. Сложим меры: 68° + 112° = 180°. Значит, по сумме углы могут быть смежными, но этого результата недостаточно для окончательного вывода.
2. Проверим чертёж: у углов должны быть общая вершина и одна общая сторона. Две необщие стороны должны быть противоположными лучами, то есть образовывать прямую.
3. Если все эти условия выполнены, углы смежные. Если хотя бы одного условия расположения нет, назвать их смежными нельзя, даже при сумме 180°.

Ответ: могут быть смежными, если стороны расположены указанным образом.

Типичные ошибки

Ошибка: считать смежными любые два угла с суммой 180°. Так думают, потому что сумма кажется главным признаком, но это лишь следствие определения. Проверь, есть ли общая сторона и образуют ли необщие стороны прямую; без этого углы не обязаны быть смежными.

Ошибка: путать общую сторону с необщими сторонами. Общая сторона принадлежит обоим углам, а прямую образуют две остальные стороны. Чтобы проверить себя, назови отдельно общую сторону и два противоположных луча на чертеже.

Ошибка: прибавлять известный угол к 180° вместо вычитания. Это происходит, если забыть, что известная и искомая части уже вместе составляют 180°. Подставь ответ в сумму: она должна дать ровно 180°, а не больше.

Ошибка: считать, что смежные углы всегда равны. Их равенство возможно только в частном случае, когда оба угла по 90°. Проверь это, сложив две одинаковые меры: если сумма должна быть 180°, каждая мера равна 90°.

Связь с другими темами

Для работы со смежными углами нужно знать, что такое угол, его стороны и лучи, а также уметь читать градусную меру. Свойство суммы 180° помогает составлять и решать уравнения с углами, в том числе когда их отношение задано числами. Равные смежные углы связаны с перпендикулярными прямыми: при таком случае каждый угол прямой. Понимание смежных углов также пригодится при изучении вертикальных углов и углов, которые образуются при пересечении прямых.

Что запомнить

• Смежные углы имеют общую сторону.
• Необщие стороны смежных углов — противоположные лучи.
• Сумма смежных углов равна 180°.
• Если один смежный угол равен α, то другой равен 180° − α.
• Равные смежные углы равны 90° каждый.
• Сумма 180° сама по себе не доказывает, что углы смежные.