§ 22. Поворот плоскости вокруг точки

Определения и обозначения

Поворот плоскости — преобразование, при котором каждая точка перемещается вокруг одной и той же точки на заданный угол. Иными словами, точки меняют направление относительно общего центра, но движутся согласованно. Это преобразование помогает описывать движение фигур и строить новые положения точек и фигур.

Центр поворота — неподвижная точка, относительно которой выполняется поворот. Обычно его обозначают буквой O. Он нужен, чтобы для любой точки было понятно, вокруг чего именно она перемещается.

Угол поворота — угол, на который поворачивается каждая точка. Нужно указывать не только его величину, например 60° или 90°, но и направление: по часовой стрелке или против неё. Направление необходимо, потому что одинаковый угол можно отложить в обе стороны.

Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при повороте. Если точка A переходит в A′, то A′ называют образом точки A, а штрих читают как «штрих». Такое обозначение позволяет различать исходную точку и её новое положение.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки A относительно центра O, сначала проводят отрезок OA. Затем из луча OA откладывают заданный угол в указанном направлении. На новом луче отмечают точку A′ так, чтобы OA′ = OA: длину сохраняют, потому что поворот меняет направление отрезка, но не растягивает и не укорачивает его.

Центр O остаётся на месте, поскольку поворот задаётся именно движением вокруг этой точки. Расстояние от A до O не меняется: конец отрезка OA перемещается по окружности с центром O и радиусом OA. У окружности все точки находятся от её центра на одном расстоянии, поэтому OA′ равно OA.

Поворот задают тремя сведениями: центром, величиной угла и направлением. Например, запись «вокруг O на 90° против часовой стрелки» определяет, из какого положения и куда переносится каждая точка. Если направление не назвать, построение может иметь два разных результата.

Чтобы получить образ фигуры, поворачивают каждую её точку на один и тот же угол вокруг общего центра. Для многоугольника достаточно построить образы вершин: стороны соединяют их, поэтому после переноса вершин можно восстановить весь контур. Новые вершины соединяют в том же порядке, в каком были соединены исходные.

Поворот сохраняет форму и размеры, потому что не меняет расстояния между точками и величины углов. Любые два отрезка между точками фигуры после поворота остаются той же длины, а их взаимное расположение сохраняет углы. Поэтому образ многоугольника равен исходному: он может оказаться в другом месте и быть иначе повёрнут, но не становится больше, меньше или иной формы.

Что сохраняется при повороте

Пользуйся таблицей как проверкой построения: центр не должен сдвинуться, а расстояния и углы должны остаться прежними. Если после поворота фигура изменила форму или размер, значит, при построении допущена ошибка. Направление и положение фигуры могут измениться, но её геометрические свойства сохраняются.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Точка A находится на расстоянии 3 см от центра O. Постройте её образ при повороте на 90° против часовой стрелки. Известно, что OA = 3 см, значит, образ должен лежать на окружности радиуса 3 см с центром O. Угол нужно отложить именно против часовой стрелки.

1. Проведите отрезок OA длиной 3 см.
2. Постройте окружность с центром O и радиусом OA.
3. Из луча OA отложите угол 90° против часовой стрелки и проведите новый луч.
4. На пересечении нового луча с окружностью отметьте A′. Тогда OA′ = OA, а направление и величина угла соответствуют условию.

Ответ: A′ — точка пересечения окружности с новым лучом, проведённым под углом 90° против часовой стрелки к лучу OA.

Задача 2

Условие. Постройте образ треугольника ABC при повороте вокруг точки O на 60° по часовой стрелке. У каждой вершины своё расстояние до O, поэтому нельзя откладывать один общий радиус. Но угол и направление поворота для всех трёх вершин должны быть одинаковыми.

1. Для вершины A проведите OA, отложите от него угол 60° по часовой стрелке и отметьте A′ на расстоянии OA от O.
2. Так же постройте B′: отложите тот же угол от луча OB и сохраните длину OB.
3. Постройте C′ от луча OC, сохраняя OC и используя то же направление и величину угла.
4. Соедините A′, B′ и C′ в порядке A′B′C′. Такой порядок сохраняет соответствие сторон исходного треугольника.

Ответ: искомый образ — треугольник A′B′C′. Для проверки сравните каждую исходную вершину с её образом: расстояние до O не должно измениться.

Задача 3

Условие. При повороте вокруг O точка A переходит в A′, причём ∠AOA′ = 120°. Определите угол поворота и постройте образ отрезка AB, если OB = 4 см. Угол между лучами показывает величину поворота, но сам по себе не сообщает направление. Поэтому по приведённым данным возможны два поворота: на 120° по часовой стрелке или на 120° против неё.

1. Сначала выберите направление, соответствующее переходу от луча OA к лучу OA′. Если оно не задано отдельно, отметьте оба возможных варианта.
2. Из луча OB отложите угол 120° в выбранном направлении.
3. На полученном луче отметьте B′ на расстоянии 4 см от O, так как OB′ = OB.
4. Соедините A′ и B′. Полученный отрезок A′B′ является образом AB при выбранном повороте.

Ответ: величина угла поворота равна 120°, но без указания направления образ не определяется однозначно. Для каждого из двух направлений строится свой образ отрезка, причём OB′ = 4 см.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что при повороте меняется расстояние точки до центра. Так думают, если следят только за перемещением точки и забывают, что она движется по окружности с центром в O. Проверьте построение: отрезки OA и OA′ должны быть равны, а A и A′ должны лежать на одной окружности с центром O.

Ошибка — указывать угол, но не указывать направление. Её допускают, потому что число градусов кажется достаточным, хотя угол можно отложить в обе стороны. Для проверки мысленно проследите движение от исходного луча: оно должно идти в заданную сторону, по часовой стрелке или против неё.

Ошибка — поворачивать вершины одной фигуры на разные углы или вокруг разных центров. Так может случиться, если строить каждую вершину отдельно и не сверяться с условием. Перед соединением точек проверьте, что у всех один центр, одна величина угла и одно направление поворота.

Ошибка — соединять образы вершин в неправильном порядке. Тогда получится другой контур, хотя сами точки могли быть построены верно. Сверяйте порядок вершин: после A, B, C соединяйте A′, B′, C′, не перескакивая через вершины.

Связь с другими темами

Для построения поворота нужно уметь строить углы заданной величины, работать с окружностью и измерять расстояния между точками. Поворот относится к движениям плоскости, как параллельный перенос и осевая симметрия; эти преобразования помогают изучать равные фигуры. Повороты применяют при построении фигур, изучении симметрии и решении задач на преобразования плоскости.

Что запомнить

• Поворот задаётся центром, углом и направлением.
• Центр поворота остаётся неподвижным.
• Расстояние от точки до центра поворота сохраняется.
• Все точки фигуры поворачиваются на один и тот же угол вокруг одного центра.
• Поворот сохраняет расстояния между точками и величины углов.
• Образ фигуры строят по образам её точек, в частности вершин.