§ 21. Биссектриса угла. Построение прямого угла

Определения и обозначения

Биссектриса угла — луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Например, если луч OM делит угол AOB, то ∠AOM = ∠MOB, а OM называют биссектрисой угла AOB. Биссектриса находится внутри исходного угла, потому что именно так она образует две его части.

Биссектриса — это именно луч, а не любой отрезок внутри угла. Луч продолжается в одну сторону без конца, а отрезок имеет две конечные точки; его можно считать частью биссектрисы, если он лежит на этом луче. Различие важно, когда в условии задачи требуется назвать или провести весь объект.

Перпендикулярные прямые — прямые, которые пересекаются под прямым углом, то есть под углом 90°. Запись a ⟂ b читают: «прямая a перпендикулярна прямой b». Она позволяет коротко указать не просто факт пересечения прямых, а точную величину угла между ними.

Построить прямой угол — значит получить угол величиной 90° с помощью чертёжных инструментов, обычно циркуля и линейки. Точность здесь обосновывают свойствами построенных отрезков и треугольников, а не только аккуратностью чертежа. Так можно выполнить построение даже без транспортира.

Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему. Она связана с построением прямого угла: построив такой перпендикуляр, получают прямую, пересекающую исходную под углом 90°. Слово «серединный» указывает на середину отрезка, а «перпендикуляр» — на прямой угол.

Как это устроено

Чтобы луч был биссектрисой, недостаточно провести его где-нибудь внутри угла: обе части должны быть равны. Если из вершины провести луч между сторонами, исходный угол распадается на два угла, и равенство этих частей как раз задаёт положение биссектрисы. Поэтому проверка сводится к сравнению углов по обе стороны от луча.

Построение начинают с дуги, центр которой находится в вершине угла. Она пересекает обе стороны в точках, равноудалённых от вершины: расстояния от центра до этих точек равны радиусу одной и той же окружности. Затем циркуль ставят по очереди в каждую из двух точек и проводят дуги одинакового радиуса; их пересечение отмечает точку внутри угла. Луч проводят из вершины через эту точку, потому что именно такое направление делит исходный угол.

Почему это работает? Обозначим вершину угла O, точки пересечения первой дуги со сторонами — A и B, а пересечение вторых дуг — C. Отрезки OA и OB равны, так как это радиусы одной дуги; AC и BC равны, так как их отложили одним и тем же раствором циркуля. Отрезок OC общий для треугольников OAC и OBC, поэтому эти треугольники равны по трём сторонам. Соответствующие углы при вершине O равны, следовательно, луч OC — биссектриса.

Для прямого угла задают прямую и точку на ней, через которую должен пройти перпендикуляр. На прямой отмечают по разные стороны от этой точки две точки на одинаковом расстоянии от неё; это можно сделать циркулем, сохраняя один раствор. Затем из отмеченных точек проводят дуги одинакового радиуса и отмечают их пересечение вне прямой. Проведённая через заданную точку и пересечение дуг прямая образует искомый угол.

Обоснование связано с серединным перпендикуляром. Заданная точка — середина отрезка между двумя отмеченными точками, потому что расстояния до них равны. Пересечение равных дуг равноудалено от концов этого отрезка, поэтому оно лежит на серединном перпендикуляре. Прямая через середину отрезка и эту точку совпадает с серединным перпендикуляром, а значит, перпендикулярна исходной прямой.

Построение биссектрисы угла и прямого угла

Сначала смотри на порядок действий, а затем проверяй обоснование по равенствам, которые обеспечил циркуль. Для биссектрисы важны равные стороны и равные углы, а для прямого угла — середина отрезка и перпендикуляр к нему.

Разбор задач

Задача 1. Луч OM делит угол AOB на два угла: ∠AOM = 38°, ∠MOB = 38°. Определить, является ли OM биссектрисой, и найти ∠AOB.

1. По определению биссектриса должна делить угол на две равные части. Здесь обе части равны 38°, а луч OM выходит из вершины O и расположен внутри угла.
2. Значит, OM удовлетворяет условию определения и является биссектрисой угла AOB.
3. Исходный угол складывается из двух частей: ∠AOB = ∠AOM + ∠MOB = 38° + 38° = 76°.

Ответ: OM — биссектриса, ∠AOB = 76°.

Задача 2. Построить биссектрису данного угла циркулем и линейкой и объяснить, почему полученный луч делит угол пополам.

1. Поставь иглу циркуля в вершину угла и проведи дугу, пересекающую обе стороны. Обозначь точки пересечения A и B.
2. Не меняя раствор циркуля, проведи дуги из A и B. Обозначь их точку пересечения C.
3. Проведи луч из вершины через C. По построению OA = OB, AC = BC, а OC — общая сторона треугольников OAC и OBC.
4. Треугольники равны по трём сторонам, поэтому углы AOC и COB равны. Следовательно, проведённый луч делит исходный угол пополам.

Ответ: луч из вершины через пересечение дуг является биссектрисой.

Задача 3. Дана прямая и точка на ней. Построить через эту точку перпендикуляр к прямой циркулем и линейкой, затем обосновать результат.

1. Обозначь заданную точку O. Выбери раствор циркуля и отметь на прямой точки A и B по разные стороны от O. Тогда OA = OB, и O — середина отрезка AB.
2. Сделай раствор циркуля больше половины AB. Проведи дуги одинакового радиуса с центрами A и B и обозначь их пересечение C.
3. Проведи прямую OC. Точка C равноудалена от A и B, потому что лежит на дугах с одинаковым радиусом.
4. Прямая через O и C является серединным перпендикуляром к AB. Поэтому она перпендикулярна исходной прямой и образует с ней угол 90°.

Ответ: прямая OC — искомый перпендикуляр.

Типичные ошибки

Ошибка: называть биссектрисой любой луч внутри угла. Её допускают, когда ориентируются только на положение луча и забывают о равенстве частей. Проверь себя: луч должен начинаться в вершине, а два образованных им угла должны быть равны.

Ошибка: соединять пересечение дуг с произвольной точкой при построении биссектрисы. Так можно получить прямую другого направления, которая не делит угол пополам. Проверь построение: луч обязательно должен выходить из вершины исходного угла и проходить через пересечение дуг.

Ошибка: считать перпендикулярными любые пересекающиеся прямые. Пересечение само по себе не означает прямого угла, хотя на чертеже разные углы могут выглядеть похожими. Проверь, что угол равен именно 90° или что построение доказано как серединный перпендикуляр.

Ошибка: считать построение доказанным только потому, что оно выглядит точным. Циркуль и линейка задают отношения между элементами, а аккуратность рисунка не заменяет обоснование. Проверь, какие отрезки построены равными и какие треугольники из этого следуют равными.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать виды углов, свойства равных углов, уметь обращаться с циркулем и линейкой и применять признаки равенства треугольников. Биссектриса используется в задачах на деление углов и позже помогает изучать геометрические места точек. Перпендикулярные прямые встретятся при изучении высот треугольника и расстояния от точки до прямой. Поэтому построения из этого параграфа становятся инструментом для следующих задач.

Что запомнить

• Биссектриса — луч с началом в вершине угла.
• Биссектриса делит угол на два равных угла.
• Равные дуги циркуля позволяют отмечать равноудалённые точки.
• Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка под прямым углом к нему.
• Построение нужно не только выполнить, но и обосновать.
• Перпендикулярные прямые образуют угол 90°.