1.9 Смежные углы

Определения и обозначения

Смежные углы — это два угла с общей вершиной и одной общей стороной, а две другие стороны являются противоположными лучами. Противоположные лучи выходят из одной точки, лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Поэтому смежные углы расположены рядом и вместе образуют прямую линию. Определение помогает отличить смежные углы от любых других углов, которые лишь имеют общую сторону.

Развернутый угол — это угол, стороны которого являются противоположными лучами. Его величина равна 180°, потому что он представляет собой половину полного оборота вокруг точки, а полный оборот составляет 360°. Развернутый угол служит общей мерой для пары смежных углов. Если известна величина одной части, величину другой можно найти до 180°.

Свойство смежных углов: сумма их величин равна 180°. Если величины углов обозначить α и β, получим запись α + β = 180°. Она позволяет находить неизвестный угол и проверять вычисления. Для этого достаточно вычесть известную величину из 180°.

Угол, смежный с данным углом величины α, имеет величину 180° − α. Например, если дан угол 40°, смежный с ним равен 140°. Такой способ работает именно потому, что вместе углы образуют развернутый угол. При вычислении нужно убедиться, что оба угла действительно смежные.

Как это устроено

Представь прямую с точкой O на ней и проведи из O ещё один луч. Получатся два угла с общей вершиной O и общей стороной — новым лучом. Две оставшиеся стороны лежат на исходной прямой и направлены в противоположные стороны. Этот рисунок показывает, как общая сторона делит один развернутый угол на два смежных.

Сумма углов равна 180° не случайно: их внутренние области вместе заполняют весь развернутый угол, не оставляя промежутка и не перекрываясь. Развернутый угол соответствует половине полного оборота, то есть 360° : 2 = 180°. Значит, если один из смежных углов увеличить, второй должен настолько же уменьшиться, чтобы вместе они по-прежнему составляли 180°. Это рассуждение и объясняет свойство, а не просто задаёт правило.

Обозначим величины смежных углов буквами α и β. Поскольку их сумма равна величине развернутого угла, получаем α + β = 180°. Чтобы найти β, перенесём α в правую часть равенства: β = 180° − α. Например, при α = 72° имеем β = 180° − 72° = 108°; проверка 72° + 108° = 180° подтверждает результат.

Если один из смежных углов острый, он меньше 90°. Тогда второй равен 180° минус число меньше 90°, а значит, больше 90° и меньше 180°: он тупой. Если один угол прямой, его величина 90°, поэтому второй равен 180° − 90° = 90° и тоже прямой. Два прямых угла таким образом тоже могут быть смежными.

Обратное утверждение неверно без дополнительных условий: равенство суммы 180° не делает любые два угла смежными. Например, углы могут быть расположены отдельно и не иметь общей вершины. Чтобы назвать их смежными, нужно проверить сразу все условия определения: общую вершину, одну общую сторону и противоположные лучи в качестве двух других сторон. Сумма 180° является следствием этих условий, но не заменяет их.

Смежные углы: признаки и вычисления

Сначала найди в таблице то, что дано в задаче, а затем прочитай соответствующий вывод. Если известна величина угла, используй вычитание из 180°. Если дана только сумма, проверь, есть ли у углов общая вершина и нужное расположение сторон.

Разбор задач

Задача 1. Один из смежных углов равен 65°. Найдём второй угол. Поскольку они смежные, вместе образуют развернутый угол, и их сумма составляет 180°. Не нужно угадывать вид второго угла: достаточно применить это равенство.

1. Записываем сумму: 65° + β = 180°.
2. Чтобы найти β, вычитаем известный угол: β = 180° − 65° = 115°.
3. Проверяем: 65° + 115° = 180°.

Ответ: второй угол равен 115°.

Задача 2. Один из смежных углов в 2 раза больше другого. Найдём оба угла. Удобно обозначить меньший угол через x, тогда больший будет 2x. Эти углы смежные, поэтому их сумма должна быть равна 180°.

1. Составляем уравнение: x + 2x = 180°.
2. Складываем подобные слагаемые: 3x = 180°, откуда x = 60°.
3. Находим больший угол: 2x = 2 · 60° = 120°.
4. Проверяем сумму: 60° + 120° = 180°, а второй угол действительно вдвое больше первого.

Ответ: углы равны 60° и 120°.

Задача 3. Два смежных угла выражены как 3x + 15° и 5x − 11°. Найдём x и величины углов. Так как углы смежные, складываем выражения и приравниваем их сумму к 180°. После решения уравнения обязательно подставим найденное значение обратно в оба выражения.

1. Составляем уравнение: (3x + 15°) + (5x − 11°) = 180°.
2. Приводим подобные: 8x + 4° = 180°, значит 8x = 176° и x = 22.
3. Находим углы: 3 · 22 + 15 = 81°, а 5 · 22 − 11 = 99°.
4. Проверяем: 81° + 99° = 180°. Оба значения положительны, а их сумма соответствует условию о смежных углах.

Ответ: x = 22, углы равны 81° и 99°.

Типичные ошибки

Ошибка: называть смежными любые два угла с общей стороной. Так поступают, если помнят только часть определения и не проверяют остальные стороны. У смежных углов эти стороны должны быть противоположными лучами. Чтобы проверить себя, убедись, что они лежат на одной прямой и направлены в разные стороны.

Ошибка: считать, что среди смежных углов обязательно один острый, а другой тупой. Такой вывод возникает, если забыть о случае, когда угол равен 90°. Два смежных прямых угла возможны, ведь 90° + 90° = 180°. Проверяй величины, а не делай вывод только по внешнему виду чертежа.

Ошибка: находить второй угол как 90° − α. Так путают смежные углы с углами, сумма которых равна 90°. Для смежных углов нужно вычитать известный угол из 180°. Проверка простая: сложи найденное значение с известным — сумма должна быть 180°.

Ошибка: заключать, что углы смежные, только потому, что их сумма равна 180°. Это условие показывает лишь сумму, но ничего не говорит о расположении углов. Они могут не иметь общей вершины или общей стороны. Перед выводом проверь все условия определения, а сумму используй как дополнительную проверку.

Связь с другими темами

Для изучения смежных углов нужно знать, что такое угол, его вершина и стороны, а также луч и противоположные лучи. Важно уметь измерять углы в градусах и понимать, что развернутый угол равен 180°. Без этих понятий нельзя проверить, являются ли два угла смежными, и применить правило их суммы.

Свойство смежных углов пригодится дальше при изучении вертикальных углов и задач на параллельные прямые. Оно помогает находить неизвестные величины и объяснять связи между углами на чертеже. Умение составлять равенство α + β = 180° также используется при решении геометрических задач уравнением.

Что запомнить

• Смежные углы имеют общую вершину и одну общую сторону.
• Свободные стороны смежных углов — противоположные лучи.
• Смежные углы вместе составляют развернутый угол.
• Сумма смежных углов равна 180°.
• Величина второго угла равна 180° минус величина первого.
• Если один смежный угол прямой, то второй тоже прямой.