1.8 Измерение углов

Определения и обозначения

Градус — единица измерения углов; один градус равен 1/180 части развёрнутого угла. Его обозначают маленьким кружком: например, 1° читают «один градус». Такая единица позволяет сравнивать углы и точно описывать их величину, а не только говорить, что один угол больше другого.

Градусная мера угла — число градусов, соответствующее величине угла. Например, запись 65° означает, что угол составляет 65 таких единиц. Градусная мера нужна, чтобы записывать результаты измерения и использовать их при решении задач; сама запись угла, например ∠ABC, называет угол, а число с символом ° показывает его меру.

Транспортир — инструмент для измерения и построения углов в градусах. На нём есть центр, который совмещают с вершиной угла, и шкала с делениями от 0° до 180°. Транспортир нужен не только для того, чтобы узнать меру готового угла: с его помощью можно также отметить заданное число градусов и построить угол.

Как это устроено

Развёрнутый угол принят за 180°, потому что его стороны лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны. Прямая помогает выбрать удобную меру: если разделить развёрнутый угол пополам, получатся два равных угла. Каждый из них составляет половину от 180°, то есть 90°, поэтому прямой угол равен 90°.

Транспортир обычно имеет вид полукруга с делениями и двумя шкалами, которые начинаются с нуля у разных концов основания. Полукруг связан с тем, что углы на нём удобно отсчитывать от 0° до 180°, то есть в пределах развёрнутого угла. Деления показывают градусы, а отметка в середине прямого края помогает правильно расположить инструмент.

Перед измерением нужно совместить центр транспортира с вершиной угла, а прямой край — с одной из его сторон. Тогда сторона угла совпадает с нулевой отметкой, и отсчёт начинается именно от неё. Если центр сдвинут, положение сторон относительно шкалы меняется; полученное число уже не будет мерой исходного угла.

У транспортира две шкалы, поэтому выбирают ту, у которой ноль расположен у совмещённой стороны угла. Затем смотрят, какое число на этой шкале пересекает вторая сторона. Так можно не перепутать, например, угол в 65° с углом в 115°: их стороны могут пересекать разные шкалы, но верный отсчёт всегда идёт от нуля у выбранной стороны.

Если луч делит угол на несколько неперекрывающихся частей, каждая часть занимает свой участок целого угла. Поэтому, чтобы узнать его полную меру, нужно сложить меры частей: они вместе составляют весь угол и ничего в нём не дублируют. Если части перекрываются, такое сложение даст лишний результат, потому что некоторые направления окажутся учтены дважды.

Основные углы и их градусные меры

Сначала сравните угол с прямым, а затем, если нужно, с развёрнутым. Таблица помогает быстро определить вид угла по его градусной мере или, наоборот, понять, в каких пределах находится мера угла данного вида.

Разбор задач

Задача 1. Измерьте транспортиром угол, изображённый на чертеже. Число нельзя определить только по названию задачи: оно зависит от того, как расположены стороны данного угла. Поэтому измерение начинают с правильной установки транспортира, а затем считывают деление.

1. Найдите вершину угла и приложите к ней центр транспортира.
2. Совместите нулевую отметку и прямой край транспортира с одной из сторон угла.
3. Выберите шкалу, которая начинается с нуля у совмещённой стороны, и посмотрите, на какое деление указывает вторая сторона.
4. Запишите показание с символом градуса и проверьте, соответствует ли оно виду угла.

Ответ: градусная мера равна числу градусов, считанному по правильной шкале транспортира на чертеже.

Задача 2. Постройте угол величиной 65°. Нужно получить угол между двумя лучами, мера которого равна 65°. Сначала задают один луч, а затем используют шкалу транспортира, чтобы отметить направление второго.

1. Проведите луч с началом в точке, которая будет вершиной угла.
2. Поставьте центр транспортира в начало луча и совместите нулевую отметку с этим лучом.
3. Найдите на шкале деление 65° и поставьте у него отметку.
4. Уберите транспортир и проведите из вершины луч через отметку.

Ответ: построенный угол равен 65°.

Задача 3. Угол ABC составлен из двух неперекрывающихся углов: ABD равен 38°, а DBC равен 47°. Найдите градусную меру ABC. Луч BD делит угол ABC на две части, которые не перекрываются и вместе составляют весь угол, поэтому применяем сложение их мер.

1. Запишите правило: ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC.
2. Подставьте данные меры: ∠ABC = 38° + 47°.
3. Сложите числа: 38 + 47 = 85.
4. Запишите результат в градусах.

Ответ: ∠ABC = 85°.

Типичные ошибки

Центр транспортира не поставлен на вершину. Из-за сдвига шкала оказывается не там, где должна быть относительно угла, и отсчёт получается неверным. Это легко пропустить, если сразу смотреть на деления. Перед измерением проверьте, что вершина точно попала в центральную отметку.

Нулевая отметка не совмещена со стороной угла. Тогда отсчёт начинается не от стороны угла, а от случайного деления, поэтому показание не выражает его меру. Ошибку допускают, когда пытаются измерить угол, не передвигая транспортир как следует. Проверьте, что одна сторона проходит через отметку 0°.

Считано число по другой шкале. На транспортире две шкалы, и числа на них направлены навстречу друг другу. Если выбрать шкалу, чей ноль находится не у совмещённой стороны, можно получить дополнительный угол вместо нужного. Проверьте, у какого нуля начинается отсчёт, и убедитесь, что результат соответствует острому, прямому или тупому виду угла.

При сложении учтена только часть угла или сложены перекрывающиеся части. В первом случае ответ окажется меньше целого угла, а во втором одни и те же направления будут посчитаны дважды. Так случается, если не проследить, какие именно части составляют угол. Перед сложением убедитесь, что части не перекрываются и вместе покрывают весь угол ровно один раз.

Связь с другими темами

Чтобы измерять углы, нужно знать, что такое угол, где находятся его вершина и стороны, а также уметь распознавать прямой и развёрнутый углы. Эти знания помогают правильно расположить транспортир и проверить результат измерения. Измерение и построение углов используют при создании геометрических фигур, а градусные меры помогают решать задачи на смежные и вертикальные углы.

Что запомнить

• Развёрнутый угол равен 180°.
• Прямой угол равен 90°.
• Градус — единица измерения угла.
• При измерении центр транспортира помещают в вершину угла.
• Нулевую отметку транспортира совмещают с одной из сторон угла.
• Градусная мера целого угла равна сумме градусных мер его неперекрывающихся частей.