1.7 Сравнение углов

Определения и обозначения

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной, а лучи — сторонами угла. При сравнении смотрят на величину раскрытия между сторонами, поэтому длина лучей значения не имеет.

Равные углы — углы, которые при наложении полностью совпадают. Их вершины и стороны занимают одинаковое положение. Такое определение помогает установить равенство точно, даже если углы нарисованы на разных расстояниях или лучи имеют разную длину.

Больший угол — угол, который при наложении содержит другой угол, причём его вершина и одна сторона совпадают с вершиной и стороной другого. Второй угол при этом целиком помещается внутри первого. Это понятие нужно, чтобы описывать результат сравнения и правильно выбирать знак неравенства.

Меньший угол — угол, который при наложении целиком помещается внутри другого и не совпадает с ним. Его раскрытие уже, чем у содержащего угла. Угол обычно обозначают тремя буквами, например ∠AOB, где средняя буква O обозначает вершину.

Как это устроено

Чтобы сравнить два угла, один из них мысленно или с помощью чертёжных инструментов накладывают на другой. Сначала совмещают вершины, затем одну сторону первого угла с одной стороной второго. Такое положение нужно потому, что сравнивать раскрытие углов можно только при общем начале и одинаковом направлении отсчёта.

Если после совмещения вершин и одной стороны совпали также вторые стороны, углы равны. Совпадение показывает, что оба угла имеют одинаковое раскрытие. При этом неважно, насколько длинными были их стороны до наложения: луч можно мысленно продолжить в нужном направлении.

Если вторая сторона одного угла проходит внутри другого угла, первый угол меньше второго. Его раскрытие заканчивается раньше, поэтому он целиком помещается в содержащемся угле. Второй угол называют большим, потому что он включает в себя весь первый и ещё часть пространства между сторонами.

Результат сравнения записывают знаками равенства и неравенства. Например, ∠AOB = ∠COD означает равенство, а ∠AOB < ∠COD — что первый угол меньше второго. Знак выбирают после наложения, а не по тому, как обозначения букв расположены в условии.

Наложение задаёт порядок сравнения любых двух углов: они либо равны, либо один из них больше другого. Если второй угол содержит первый, можно сразу записать первый меньше второго, а второй больше первого. Так геометрическое наблюдение превращается в точную запись, с которой удобно работать в задачах.

Как сравнить два угла наложением

Сначала совместите вершины углов и по одной стороне. Затем рассмотрите положение вторых сторон: их совпадение означает равенство, а попадание одной стороны внутрь другого угла — неравенство.

Пользуйтесь таблицей после мысленного или реального наложения, а не вместо него. Найдите содержащий угол и только затем выберите знак: содержащий угол больше, расположенный внутри — меньше.

Разбор задач

Задача 1. Сравните ∠AOB и ∠COD, если при наложении их вершины и обе стороны совпали.

1. Совместим вершины O и D, а затем одну сторону первого угла с одной стороной второго.
2. По условию совпали и вторые стороны, значит, раскрытия углов одинаковы.
3. Запишем результат знаком равенства.

Ответ: ∠AOB = ∠COD. Длина сторон или положение углов на чертеже не меняют этого вывода.

Задача 2. При наложении ∠KLM на ∠XYZ вершины и по одной стороне совпали, а сторона LM оказалась внутри ∠XYZ. Сравните углы.

1. После совмещения одна сторона и вершины дают общее положение для сравнения.
2. Сторона LM находится внутри ∠XYZ, поэтому весь ∠KLM помещается в ∠XYZ.
3. Внутренний угол меньше того, который его содержит, поэтому ставим знак <.

Ответ: ∠KLM < ∠XYZ. Следовательно, ∠XYZ больше ∠KLM.

Задача 3. Лучи OA и OB образуют один угол, а луч OC расположен внутри него. Сравните ∠AOC и ∠AOB и объясните ответ.

1. У обоих углов есть общая вершина O и общая сторона OA.
2. Вторая сторона OC угла ∠AOC лежит внутри угла ∠AOB, между лучами OA и OB.
3. Значит, ∠AOC целиком помещается в ∠AOB и имеет меньшее раскрытие.

Ответ: ∠AOC < ∠AOB. Угол ∠AOB больше, потому что содержит ∠AOC.

Типичные ошибки

Сравнивать углы по длине сторон. Так ошибаются, потому что длинный луч кажется частью большего угла. Проверить себя можно, мысленно продолжив или укоротив луч: величина раскрытия не изменится.

Считать углы равными только по внешнему виду. На рисунке важен масштаб, поэтому похожая форма ещё не доказывает равенство. Нужно выполнить наложение или использовать данные задачи.

Совмещать только вершины. При разных направлениях сторон углы нельзя честно сопоставить. Проверьте, что после совмещения вершин совпала ещё и одна сторона.

Путать направление неравенства. Иногда знак выбирают по названию первого угла, хотя нужно определить, какой угол содержит другой. Если угол находится внутри, ставьте «меньше», а содержащий его угол считайте большим.

Связь с другими темами

До сравнения углов нужно знать, что такое угол, его вершина и стороны. Также важно уметь обозначать угол тремя буквами, ставя букву вершины посередине. Эти навыки позволяют правильно читать условие и записывать ответ.

Сравнение углов пригодится при изучении их измерения и построений циркулем и линейкой. Оно также помогает разбирать свойства геометрических фигур, когда нужно установить равенство или порядок величин углов.

Что запомнить

• Углы сравнивают наложением.
• При наложении сначала совмещают вершины и по одной стороне.
• Если совпали обе стороны, углы равны.
• Угол, содержащий другой угол, больше него.
• Длина сторон не определяет величину угла.
• Знак < означает «меньше», знак > — «больше».