1.6 Луч и угол

Определения и обозначения

Луч — часть прямой, состоящая из точки, которую называют началом луча, и всех точек прямой, лежащих по одну сторону от неё. Можно представить прямую, разделённую одной точкой на две части: каждая часть вместе с этой точкой образует луч. Это понятие помогает точно указывать направление от выбранной точки.

Начало луча — точка, от которой луч продолжается в одном направлении. Она принадлежит лучу, но луч не ограничивается только этой точкой. Начало нужно, чтобы отличать один луч от другого и правильно понимать его обозначение.

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Важны и общая точка, и оба луча: вместе они задают расположение угла. Понятие угла позволяет описывать взаимное положение направлений и изучать геометрические фигуры.

Общее начало лучей называют вершиной угла, а сами лучи — сторонами угла. Угол с вершиной O и сторонами OA и OB можно обозначить тремя буквами: ∠AOB; буква вершины находится в середине. Эти названия показывают, какую точку и какие лучи нужно искать на чертеже.

Как это устроено

Точка на прямой отделяет точки, лежащие по одну её сторону, от точек по другую сторону. Поэтому прямая распадается на две части, и у каждой есть общий граничный пункт — точка деления. Если взять одну из частей вместе с этой точкой, получится луч: он начинается там, где прямая разделилась, и уходит в выбранном направлении. Точку включают в луч, потому что без неё было бы непонятно, откуда начинается движение по прямой.

Луч обозначают двумя заглавными буквами, например OA. Первой записывают точку начала O, а второй — точку A, лежащую на луче и показывающую его направление. Порядок нужен не для украшения записи: луч OA начинается в O, тогда как луч AO начинается в A и направлен в другую сторону. Поэтому при чтении обозначения сначала найди начало, а затем проследи направление через вторую точку.

Если два луча выходят из одной точки, они образуют угол. Общая точка становится его вершиной, а каждый луч — одной из сторон; никакого дополнительного отрезка между сторонами для определения не требуется. В названиях углов указывают буквы, связанные с обоими лучами и общей точкой. Так можно отличить угол от его вершины: точка — только место встречи сторон, а фигура включает оба луча.

Угол обычно записывают тремя буквами, например ∠AOB. Первая буква указывает на точку на одной стороне, последняя — на точку на другой стороне, а буква вершины O стоит между ними. Среднее положение вершины сохраняет порядок чтения: обозначение сразу сообщает, где лучи встречаются. Можно прочитать те же стороны в обратном порядке — ∠BOA, и получится тот же угол с вершиной O.

Иногда угол обозначают одной буквой — названием его вершины, например ∠O. Так делают, только если около O рассматривается ровно один угол и читатель не спутает его с другим. Если из вершины выходят несколько лучей, они могут образовать несколько углов, и короткая запись не покажет, какой именно выбран. Тогда используют три буквы, чтобы назвать обе нужные стороны.

Луч и угол: основные сведения

Сначала определите, какую фигуру нужно назвать: отдельный луч или угол. Затем проверьте, что буквы соответствуют нужным точкам, а для угла вершина стоит в середине. Такая проверка помогает не перепутать направление луча и стороны угла.

Разбор задач

Задача 1. Точки A, O и B лежат на одной прямой, причём O находится между A и B. Назовите луч, который начинается в O и проходит через A.

1. Определяем начало: по условию луч начинается в точке O. Значит, именно O должна стоять первой в обозначении.
2. Находим точку, через которую проходит нужный луч: это A. Точка B лежит с другой стороны от O и для данного направления не подходит.
3. Записываем две буквы в нужном порядке. Получаем луч OA, который начинается в O и направлен через A.

Ответ: луч OA.

Задача 2. Даны лучи OA и OB с общим началом O. Назовите образованный ими угол и укажите его вершину и стороны.

1. Общая точка лучей — O, поэтому она является вершиной угла. Буква O должна занять середину обозначения из трёх букв.
2. Оставшиеся буквы A и B указывают на лучи, образующие угол. Записываем их по краям, например ∠AOB.
3. Проверяем, что стороны названы верно: это исходные лучи OA и OB, а не просто точки A и B. Поменяв крайние буквы местами, получим равнозначную запись ∠BOA.

Ответ: ∠AOB (или ∠BOA); вершина — O, стороны — OA и OB.

Задача 3. Из точки O выходят лучи OA, OB и OC, образуя несколько углов. Обозначьте угол со сторонами OA и OC и объясните, почему обозначения ∠AOC и ∠COA указывают на те же стороны и вершину.

1. По условию выбраны стороны OA и OC, поэтому крайними буквами обозначения должны быть A и C. Буква общей точки O записывается между ними.
2. Получаем ∠AOC. В нём вершина — O, а стороны — OA и OC, то есть обе нужные стороны присутствуют.
3. В записи ∠COA крайние буквы поменялись местами, но середина осталась O. Значит, вершина и две стороны те же; буква B здесь не нужна, поскольку луч OB не является стороной выбранного угла.

Ответ: ∠AOC или ∠COA; вершина — O, стороны — OA и OC.

Типичные ошибки

Первая ошибка — назвать луч двумя буквами, но поставить начало не первым. Её допускают, когда воспринимают запись как произвольное название, хотя порядок задаёт направление. Проверьте обозначение: начальная точка должна стоять первой, например луч OA начинается в O.

Вторая ошибка — поставить вершину угла не в середину трёхбуквенного обозначения. Так происходит, если забыть, что крайние буквы относятся к сторонам. Для самопроверки найдите общую точку лучей и убедитесь, что именно она занимает среднее место, как O в ∠AOB.

Третья ошибка — считать углом одну точку вершины. Точку легко принять за весь угол, потому что лучи встречаются именно в ней, но сама вершина не показывает направление сторон. Проверьте рисунок: должны быть названы два луча с общим началом, а не только точка их встречи.

Четвёртая ошибка — обозначить угол одной буквой, когда у вершины образовано несколько углов. Короткую запись выбирают ради удобства, но она тогда может указывать на разные фигуры. Спросите себя, однозначно ли понятно, какой угол имеется в виду; если нет, назовите его тремя буквами и укажите обе стороны.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в лучах и углах, нужно уметь распознавать точку и прямую и обозначать их буквами. Это исходные объекты геометрии: луч выделяет направление на прямой, а угол связывает два таких направления. Поэтому внимательное чтение букв помогает понимать чертежи и условия задач.

Понятия луча и угла понадобятся при изучении видов углов и способов их измерения. Они также используются при построении и доказательстве свойств геометрических фигур. Умение называть вершину и стороны помогает точно объяснять, какие части фигуры сравнивают или строят.

Что запомнить

• Луч — часть прямой с началом и одним направлением продолжения.
• Начало луча записывают первой буквой в его обозначении.
• Угол образован двумя лучами с общим началом.
• Общее начало сторон угла называют его вершиной.
• В обозначении угла из трёх букв вершину записывают в середине.
• Одной буквой угол обозначают только тогда, когда это не вызывает путаницы.