"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Измерение отрезка помогает выразить его длину числом: для этого сравнивают отрезок с выбранной единицей измерения. Число зависит от единицы, но сам отрезок не меняется: например, 6 см — это 60 мм. Если точка B лежит между A и C, длина AC складывается из длин AB и BC. Расстояние между двумя точками — длина отрезка, который их соединяет; у совпадающих точек оно равно нулю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Единичный отрезок — отрезок, длину которого принимают за единицу измерения. Например, можно выбрать отрезок длиной 1 см. Тогда длины других отрезков удобно сравнивать с этой мерой и записывать числами, а не только словами «короче» или «длиннее».
Длина отрезка — положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок укладывается в данном отрезке. Если выбранная единица укладывается целое число раз, это число и есть длина; если нет, используют более мелкие единицы. Длину записывают вместе с названием единицы, например 5 см, потому что без неё числовое значение может быть непонятно.
Равные отрезки — отрезки одинаковой длины. Сравнивать их можно по числовым значениям длины, предварительно записав обе длины в одинаковых единицах. Это позволяет установить равенство, даже если отрезки изображены в разных местах или имеют разные обозначения.
Расстояние между двумя точками — длина отрезка, соединяющего эти точки. Например, расстояние между A и B равно длине AB. Если точки совпадают, соединяющий их отрезок имеет нулевую длину, поэтому расстояние между ними равно нулю.
Измерять отрезок — значит сравнивать его с единичным отрезком и определять, сколько раз выбранная мера в нём содержится. Так длина становится числом, которое можно использовать в вычислениях и сопоставлять с длинами других отрезков. Саму меру выбирают заранее: например, в одной задаче удобно взять сантиметр, а в другой — метр. Поэтому результат измерения всегда понимают вместе с единицей.
Иногда единичный отрезок не укладывается в измеряемом отрезке целое число раз. Тогда можно взять меньшую единицу, которая делит исходную: сантиметр делится на миллиметры, а метр — на сантиметры. Более мелкая мера позволяет выразить длину точнее и не оставлять часть отрезка без измерения. Например, если отрезок короче целого числа сантиметров или содержит дополнительные миллиметры, его длину записывают с учётом этих долей.
При смене единицы измерения меняется число, но не геометрический отрезок. Это происходит потому, что в одной и той же длине помещается разное количество крупных и мелких единиц. Один сантиметр равен десяти миллиметрам, поэтому 6 см = 6 · 10 мм = 60 мм. При переводе из сантиметров в миллиметры числовое значение увеличивается, а при обратном переводе уменьшается.
Если точка B лежит между A и C, отрезок AC состоит из двух частей: AB и BC. Их длины вместе дают длину всего отрезка, поэтому AC = AB + BC. Это правило позволяет находить неизвестную длину: если известны весь отрезок и одна часть, из длины целого вычитают известную часть. Без условия, что B находится между A и C, такое сложение может не описывать длину AC.
Расстояние определяется не названием точек и не тем, как они нарисованы, а длиной соединяющего их отрезка. Если те же точки обозначить другими буквами или изобразить в другом месте, расстояние между ними останется прежним. Для различных точек оно положительно, а для совпадающих — равно нулю. Значит, расстояние — это числовая характеристика пары точек, а не размер рисунка на странице.
| Что рассматриваем | Как определяют или вычисляют | Обозначение или единицы |
|---|---|---|
| Длина отрезка | Сравнивают с выбранной единицей и считают, сколько таких единиц в нём содержится. | Например, AB = 5 см. |
| Единичный отрезок | Заранее выбирают его длину как меру для сравнения. | Например, 1 см или 1 мм. |
| Длина отрезка, составленного из двух частей | Если B лежит между A и C, складывают AB и BC: AC = AB + BC. | Длины выражают в одинаковых единицах. |
| Расстояние между точками | Находят длину отрезка, соединяющего эти точки. | Расстояние между A и B равно длине AB. |
Сначала определите, какой объект рассматриваете: меру, длину или расстояние между точками. Затем проверьте, в каких единицах даны величины, и при необходимости приведите их к одинаковым. Для отрезка из двух частей дополнительно проверьте расположение точек: формула суммы подходит, когда точка делит целый отрезок на эти части.
Задача 1. Длина отрезка равна 6 см. Выразите её в миллиметрах. Здесь нужно заменить единицу измерения, не меняя саму длину. Так как миллиметр меньше сантиметра, в полученном числе миллиметров должно быть больше, чем сантиметров.
Ответ: 60 мм. Число увеличилось, потому что миллиметры мельче сантиметров и их в том же отрезке больше.
Задача 2. Точка B лежит между A и C. Известно, что AB = 4 см, BC = 7 см. Найдите AC. Поскольку B находится внутри отрезка AC, весь отрезок состоит из частей AB и BC. Значит, чтобы получить длину целого, нужно сложить длины частей.
Ответ: 11 см. Проверка здравого смысла: целый отрезок должен быть длиннее каждой из своих частей, и 11 см больше и 4 см, и 7 см.
Задача 3. Точка B лежит между A и C, AC = 15 см, AB = 9 см. Найдите расстояние между B и C. Расстояние между B и C равно длине отрезка BC. Известна длина целого отрезка и одной его части, поэтому неизвестную часть найдём вычитанием.
Ответ: расстояние между B и C равно 6 см. Проверим сложением: 9 см + 6 см = 15 см, то есть известные части дают длину всего отрезка.
При смене единиц иногда оставляют числовое значение длины прежним. Ошибка возникает, если считать, что сантиметр и миллиметр — просто разные записи одного числа, хотя они задают разные меры. Проверьте, увеличивается ли число при переходе к более мелкой единице: 6 см должно быть больше не по длине, а по количеству миллиметров, то есть 60 мм.
Длины AB и BC нельзя автоматически складывать и называть результат AC. Такое правило работает, только если B лежит между A и C, а иначе эти отрезки могут не составлять AC. Перед вычислением отметьте порядок точек в условии или представьте, какие части образуют целый отрезок. Если нужное расположение не дано, сначала выясните его, а не применяйте формулу наугад.
Отрезок и его длина — не одно и то же: первый является геометрической фигурой, а вторая — числом с единицей измерения. Путаница появляется из-за привычки говорить «отрезок равен пяти сантиметрам», хотя пять сантиметров — его длина. Для проверки спросите себя, можно ли к названному объекту приписать единицу: единицу указывают у длины, а не у самой фигуры.
При переводе единиц можно по ошибке умножить или разделить на неверное число. Обычно это происходит, когда забывают, сколько меньших единиц содержится в большей. Для сантиметров и миллиметров соотношение равно 1 см = 10 мм, поэтому при переходе от сантиметров к миллиметрам умножают на 10, а обратно делят на 10. Оцените результат: при переходе к меньшей единице число должно увеличиться.
Чтобы измерять отрезки и находить расстояния, нужно знать, что такое точка и отрезок, уметь правильно их обозначать и распознавать, когда одна точка лежит между двумя другими. Эти знания помогают понять, какие отрезки являются частями целого и какую формулу использовать. Дальше измерение пригодится при вычислении периметра фигур: для этого складывают длины их сторон. На координатной прямой расстояние между точками также находят по их расположению и числовым значениям.
Почему длина одного и того же отрезка может быть записана разными числами?
Число показывает, сколько выбранных единиц укладывается в отрезке. Чем меньше единица, тем больше таких единиц в том же отрезке: например, 6 см = 60 мм.
Что называют единичным отрезком?
Это отрезок, длину которого принимают за единицу измерения. С его помощью сравнивают другие отрезки и выражают их длины числами.
Как найти длину всего отрезка, если известны длины его частей?
Если точка B лежит между A и C, сложите длины частей: AC = AB + BC. Сначала убедитесь, что точки расположены именно в таком порядке.
Всегда ли расстояние между точками больше нуля?
Нет. Если точки различны, соединяющий их отрезок имеет положительную длину. Если точки совпадают, расстояние между ними равно нулю.
Как понять, нужно умножить или разделить при переводе сантиметров в миллиметры?
Из сантиметров в миллиметры переходят к более мелкой единице, поэтому число увеличивается: его умножают на 10. Например, 6 см = 60 мм; при обратном переводе миллиметры делят на 10.
1.5 Измерение отрезков. Расстояние между точками
